Über die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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der Empirie stammen oder aus der Phantasie, mathematisch verwendbar 
können alle diese Vorstellungen immer erst dann werden, wenn es gelingt, 
ihren Inhalt so zu formen, daß sich mit ihnen ein kontradiktorisch 
gefügtes Wissensgebiet schaffen läßt. Die DEDEKiNDschen Definitionen 
des Schnitts und der unendlichen Mengen, sowie Cantors Begriff 
der Wohlordnung und der transfiniten Induction werden meines Er- 
achtens immer glänzende Beispiele für die Arbeit sein, die die axio- 
matisclie Methode in dieser Hinsicht zu leisten hat. 
Damit ist auch die Stellung der Definition im axiomatisclien 
Aufbau geklärt. Sie kann in ihm einen Platz nur insofern beanspruchen, 
als die in ihr enthaltene mathematische Tatsache selbt den Axiomen 
oder, anders ausgedrückt, der Stammtafel der mathematischen 
Begriffe und Beziehungen zu gezählt wird; von der Definition 
im engern Sinn ist hier naturgemäß nicht die Rede. Es ist mir nicht 
sicher, ob man diese Konsequenz überall da gezogen hat, wo man 
sogenannte ,, fundamentale“ Definitionen an die Spitze gestellt hat. 
Denn diese Konsequenz verlangt insbesonders auch, alle in solchen 
Definitionen auftretenden Begriffe im Sinn von § 3 darauf hin zu 
prüfen, ob sie bereits mathematische Geltung besitzen oder nicht; 
und wenn es nicht der Fall ist, sie ebenfalls in die genannte Stamm- 
tafel aufzunehmen und, wenn nötig, mathematisch zu formen und fest- 
z ul egen. J ) 
§ 5. Wortdefinitionen. 
Im Gegensatz zur Mathematik müssen die übrigen abstrakten 
Wissenschaften vielfach zu dem Notbehelf greifen, allgemeine Wort- 
definitionen an die Spitze zu stellen, die mit mehr oder weniger un- 
bestimmten Ausdrücken operieren, und bei denen man deshalb niemals 
sicher ist, daß sich der Leser dasselbe denkt, wie der Autor, der sie 
geschaffen. Für sie sollte in der Mathematik kein Platz mehr sein; 
ihre vollständige Ausschaltung ist vielmehr das Ziel, das 
man zu erstreben hat. In der Möglichkeit, dieser Forderung zu 
1 ) Meines Erachtens ist diese Analyse in den neuesten Arbeiten über die Be- 
weisbarkeit des Schlusses von n auf n -j- 1 und für die auf dem Kettenbegriff ruhende 
Theorie der endlichen Mengen noch nicht in völlig abgeschlossener Weise ausgeführt 
worden. Um wenigstens an einem Beispiele die Tragweite der obigen Auffassung dar- 
zulegen, wähle ich die auf der ,,Kette <£ ruhende ZERMELOsche Definition der Worte 
endlich und abzahlbar, die folgendermaßen lautet: Eine Menge heißt endlich, wenn 
alle ihre Elemente eine einfache Kette mit letztem Element ausmachen; abzahlbar, 
wenn die einfache Kette kein letztes Element enthält. (Acta math. Bd. 3‘d [1909] S. 186.) 
Gemäß dem obigen bedeutet dies sachlich, daß zwei Arten von Ketten als mathematische 
Objekte axiomatisch eingeführt weren ; solche mit und solche ohne letztes Element. 
