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A. SCHOENFLIES. 
entsprechen — in der vorstehend angegebenen Art — tritt die bevor- 
zugte Stellung, die die Mathematik für sich beanspruchen kann, in 
Evidenz. * l ) 
So trivial diese Bemerkungen erscheinen mögen, so sind doch Wort- 
definitionen noch bis in die neueste Zeit tatsächlich im Gebrauch ge- 
blieben, und dies selbst bei denen, die sich um die axiomatische Methode 
an erster Stelle verdient gemacht haben, nämlich bei Pasch 2 3 ) und 
Hilbert. Auch dies ist einer der Gründe, die meine ausführliche Dar- 
stellung veranlaßt haben. Insbesondere kann ich auch die Definitionen, 
die Hilbert in seinem Heidelberger Vortrag über die Grundbegriffe 
der Mengenlehre gegeben hat, teilweise nur als Wortdefinitionen an- 
sehen. Da mir hier die Mengenlehre an erster Stelle steht, will ich 
dies ausführlicher erörtern. 
Hilbert hat in seinem Heidelberger Vortrag bekanntlich die 
Forderung, daß die Arithmetik (und sogar auch die Logik) in gleicher 
Weise auf eine Zahl von Axiomen gegründet werden soll, wie er es 
für die Geometrie durchgeführt hatte, zum erstenmal in aller Schärfe 
und Bestimmtheit erhoben. Er hat auch bereits in Umrissen den 
Weg gezeichnet, auf dem eine axiomatische Begründung geschehen 
1 ) Auf die Notwendigkeit, von den Wortdefinitionen abzusehen, haben auch 
Hessexberg und Zermelo hingewiesen; ohne jedoch die oben enthaltenen Kon- 
sequenzen zu ziehen. Meines Erachtens ist sich Hessenberg in seiner letzten Mengen- 
arbeit (Journ. für Math. Bd. 135 (1909) S. 84 ff) sogar selber teilweise untreu geworden. 
Umgekehrt ist es insbesondere bei Russell. Das RüSSELLsche Werk (The 
Pinciples of mathmatics, Cambridge, 1903) widmet zwar das erste Kapitel den „un- 
definables“, aber doch nur so, daß es für sie entweder eine „definition“ gibt, oder 
aber eine aequivalente Inhaltsbestimmung allgemeiner resp. philosophischer Art. 
Einige Wortdefinitionen, die sich in neueren mathematischen Schriften 
axiomatischer Richtung finden, will ich doch beiläufig anführen. So heißt es bei Frege 
(Grundgesetze der Arithmetik, Jena, 1893, S. 58 und Grundlagen der Arithmetik, 
Breslau, 1884, S. 89, 90, 151): 
1. Die Anzahl, welche dem Begriff F zukommt, ist der Umfang des Begriffes 
„gleichzahl ig dem Begriff F“. 
2. Eins ist die Anzahl, welche dem Begriff „gleich 0“ zukommt. 
3. Endlos (= Unendlich) ist der Umfang des Begriffes Anzahl. 
Eine große Zahl solcher 'Wortdefinitionen findet man auch in Veroneses Grund- 
zügen der Geometrie. 
Übrigens will ich die wissenschaftliche Tätigkeit, die in der Erschaffung solcher 
Wortdefinitionen liegt, keineswegs herabsetzen; nur ihre mathematische Entbehr- 
lichkeit und Unverwendbarkeit sollte hier betont werden. Werden sie insbesondere 
für die grundlegenden Beziehungen benutzt (z. B. wie bei Frege), so heißt dies, eine 
axiomatische mathematische Beziehung auf unmathematische Worte von unsicherer 
Bedeutung zurückzuführen. 
2 ) Man vergleiche seine kürzlich (1909) erschienenen „Grundlagen der Analysis“. 
