Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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kann, er nennt aber unter den Prinzipien, die für seinen Aufbau 
maßgebend sind, auf S. 182 auch das folgende: 
III. Die Menge m ist allgemein als ein Gedankending m definiert, 
und die Kombinationen m x heißen die Elemente der Menge m, so daß 
also — im Gegensatz zu der üblichen Auffassung — der Begriff des 
Elementes einer Menge erst als späteres Erzeugnis des Mengenbegriffes 
selbst erscheint. 
Augenscheinlich wollte auch Hilbert auf diese Weise die gewöhn- 
lichen Wortdefinitionen vermeiden und mathematische Begriffe schaffen, 
die sich nur auf mathematisch vorhandene Operationen stützen und 
aus diesen ihren axiomatischen Inhalt empfangen. Dem dient die 
Einführung der Symbole m und #, und des aus ihnen gebildeten Symbols 
m x. Aber ich kann seinen Weg nicht als ausreichend anseben. 
Wird nämlich ein Symbol m nur als „Gedankending“ eingeführt, 
so ist es zunächst ein mathematisch leeres Symbol, und das gleiche 
gilt von dem Symbol mx, so lange es nur als „Kombination“ der 
Dinge m und x hingestellt wird. Einen mathematischen Inhalt 
erhalten diese Symbole nur so, daß man gewisse für sie gütige Be- 
ziehungen — die naturgemäß im Sinne von § 2 kontradiktorischen 
Charakter haben müssen — axiomatisch festsetzt; diese Beziehungen 
sind es ja erst, die gemäß § 3 den materiellen Inhalt der Axiome und 
der Begriffe ausmachen. Die Axiome müssen daher notwendig die 
Menge, die Elemente und ihre Beziehungen zugleich enthalten. 
Übrigens ist auch Hilbert selbst an der einzigen Stelle seines Vortrags, 
die eine axiomatische Einführung einer Menge enthält, so vorgegangen, 
wie ich es hier als nötig erachte; die Axiome 3 bis 5 (S. 179) und die 
ihnen folgenden Ausführungen lassen dies meines Erachtens erkennen. 1 ) 
Eine mathematisch unverwendbare Wortdefinition bildet ins- 
besondere der von Russell aufgestellte Begriff: durch höchstens 100 
Worte definierbar. 2 ) Der innere Grund ist der, daß es offenbar nicht 
auf die Zahl der Worte ankommt, sondern auf ihre Qualität, d. h. 
auf die Frage, ob sie mathematisch eindeutig sind oder nicht. Der 
tatsächliche Beweis besteht ja darin, daß, wie Russell gezeigt hat, der 
O Freilich wäre es ja möglich, daß ich den Sinn und die Tragweite der Hilbert - 
sehen Ausführungen nicht völlig zutreffend verstehe. Dies scheint mir aber doch aus- 
geschlossen zu sein; denn offenbar legt er auf die obige „unabhängige“ Einführung 
des Mengenbegriffes deshalb besonderen Wert, weil es seiner Meinung nach gerade da- 
durch gelingen soll, das bekannte RusSELsche Paradoxon von vornherein unmöglich 
zu machen. 
2 ) Vergl. darüber z. B. die Ausführungen von Poincare, Acta math. Bd. 32 
(1909) S. 197. 
