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A. SCHOENFLIES. 
Begriff: ,,die kleinste mit höchstens 100 Worten definierbare ganze 
Zahl“ ebenso auf einen Widerspruch führt, wie der ähnliche Begriff 
endlich definierbar. 
Übrigens kann man mit dem Begriff „durch höchstens 100 Worte 
definierbar“ in der Theorie der endlichen Mengen das gleiche Paradoxon 
ableiten, das Richard mit dem Begriff „endlich definierbar“ für die 
unendlichen Mengen konstruiert hat. Man betrachte dazu die Menge 
aller Dezimalbrüche, die durch höchstens 100 Worte definiert sind; 
naturgemäß sollen nur solche Definitionen in Betracht kommen, die 
einen einzigen Dezimalbruch bestimmen; in derselben Weise geordnet, 
wie es Richard tut. Sei d v der vte Dezimalbruch. Nun bilde man 
wieder einen Dezimalbruch d' in der Weise, daß man die vte Ziffer 
des rten Dezimalbruchs dv zu 9 ergänzt und an die von dieser Vor- 
schrift nicht betroffenen Stellen lauter Nullen setzt. Dann ist d' 
durch weniger als 100 Worte definiert (nämlich, durch 74) und von 
jedem d v verschieden; wir haben also den analogen Widerspruch, wie 
im RiCHARD’schen Fall 1 ). 
Liegt aber darin irgend ein Argument gegen die allgemeine 
Theorie der endlichen Mengen? Keinesfalls; — nur gegen die mathe- 
matische Verwendbarkeit derjenigen Bestimmung, die diesen Wider- 
spruch verschuldet hat. Eine andere Konsequenz kann daher auch 
im RiCHARD’schen Fall nicht gezogen werden. Auch sein Paradoxon 
spricht nur gegen die mathematische Zulässigkeit der Worte „endlich 
definierbar“, und es ist völlig verfehlt, den Widerspruch umgekehrt 
denjenigen axiomatischen Begriffen zur Last zu legen, mit denen die 
Theorie der unendlichen Mengen aufgebaut ist. 
Auch den Begriff „prädikativ“ rechne ich beiläufig bemerkt 
hierher. Sein Mangel an Eindeutigkeit wird durch die jüngsten 
Erörterungen PoincarAs und Zermelo’s hinreichend bewiesen. Er ist 
aber auch durchaus entbehrlich; die Frage, ob eine irgendwie gebildete 
oder angenommene Beziehung zwischen mathematischen Objekten 
widerspruchsvoll ist oder nicht oder überhaupt den Anforderungen der 
mathematischen Verwendbarkeit entspricht, wird der Mathematiker 
auch ohne diesen Begriff jederzeit entscheiden können; er bedarf dazu 
keines besonderen Grängelbandes. 
0 Man könnte sogar noch ein Hyperparadoxon ableiten. Auf dem gewöhnlichen 
Wege des Schließens könnte man das obige Ergebnis folgendermaßen aussprechen: 
Zu jeder endlichen Menge von Dezimalbrüchen, die mit höchstens 100 Worten 
definierbar sind, läßt sich ein von allen verschiedener, analoger Dezimalbruch finden — 
und daraus weiter die Nichtendlichkeit dieser Menge folgern. 
