Über die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
275 
§ 6. Uneigentliche Definitionen. 
Der Vollständigkeit halber mögen auch folgende Bemerkungen 
hier eine Stelle finden. 
Die Arithmetik fügt zu den ganzen Zahlen ein Symbol hinzu, 
das den Namen Null erhalten hat, und das — was die Axiome der 
Addition und Multiplikation betrifft — ebenso verwendet werden 
kann, wie die positiven ganzen Zahlen, und deshalb auch uneigent- 
liche Zahl heißt. Ebenso fügt die euklidische G-eometrie zu den 
eigentlichen Punkten, (Geraden und Ebenen die unendlichfernen als 
uneigentliche Elemente hinzu. Auch die „Nullmenge“ stellt nur eine 
uneigentliche Menge dar. Man darf aber nicht vergessen, daß es selbst- 
verständlich immer der Untersuchung bedarf, ob die so eingeführten 
Symbole in jeder Hinsicht denselben Gesetzen folgen, wie diejenigen 
Objekte, deren Namen man auf sie übertragen hat; oder vielmehr in wie 
weit dies der Fall ist. Es ist z. B. ein wesentliches Verdienst von 
Staudts, diesen Nachweis für die uneigentlichen Punkte, Geraden und 
Ebenen (sogar auch für die imaginären) inbezug auf die Axiome der 
Verknüpfung und Anordnung in eingehender Weise geliefert zu haben. 
Daraus kann aber nicht etwa ohne weiteres gefolgert werden, daß 
sich auch die übrigen axiomatisch aufgestellten Eigenschaften der eigent- 
lichen Punkte, Geraden und Ebenen auf die uneigentlichen übertragen 
lassen. Schon der Satz, daß jede eigentliche Gerade einen und genau 
einen uneigentlichen Punkt enthält, trifft für eine uneigentliche Gerade 
nicht zu. Die Axiome der Kongruenz versagen überhaupt. In 
analoger Weise ist die Null als Divisor nicht zulässig. Der Versuch, 
auf ein uneigentliches Objekt die allgemeine Definition des eigent- 
lichen zu übertragen, kann sogar zu einem unmittelbaren logischen 
Widerspruch führen. Die Nullmenge bildet ein einfachstes Beispiel. 
Ein grundlegendes Axiom der Mengenlehre besagt nämlich, daß eine 
Menge ausschließlich durch die Elemente bestimmbar ist, die sie 
enthalten soll; wendet man aber diese Definition wörtlich auf die 
Nullmenge an, so würde sie ein Objekt darstellen, das durch nichts 
bestimmt ist, was doch einen logischen Widerspruch darstellt. 
Als uneigentliche Menge kann auch ein einzelnes Objekt a einge- 
führt und durch \a\ bezeichnet werden; 1 ) nur darf man nicht erwarten, 
daß es sich in jeder Hinsicht, wie eine eigentliche Menge verhält. Es 
ist daher nicht berechtigt, wenn Hessenberg die Gleichsetung von a 
und { a \ überhaupt für unerlaubt hält; weil man daraus nämlich die Gleich- 
Ü Bei Dedekind und Zermelo ist es übrigens anders; ebenso bei Peano. Sie 
alle unterscheiden zwischen a und j «j. 
