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A. SCHOENFLIES. 
Setzung irgend zweier Dinge folgern könne. 1 ) Eine solche Konsequenz 
kann niemals einen Einwand gegen die Einführung uneigentlicher Ob- 
jekte ab geben; sie sind immer nur in beschränktem Maße benutzbar, 
und stets führt jede darüber hinausgehende Benutzung ad absurdum. 
Ich möchte glauben, daß eine vollständige Übereinstimmung 
der Eigenschaften der eigentlichen und uneigentlichen Objekte nie- 
mals anzutreffen ist. Wie dem aber auch sei; werden uneigentliche 
Objekte für irgend ein Beweis verfahren benutzt oder überhaupt in 
derselben Weise verwandt, wie die eigentlichen, so bedarf dies immer 
des Nachweises der Berechtigung, zumal da, wo es sich um die axio- 
matische Grundlegung handelt. 2 ) 
§ 7 . Identität und Gleichheit. 
Es liegt nahe, eine Anwendung des vorstehenden in der Weise 
zu machen, daß wir auf seiner Grundlage in aller Kürze den mathe- 
matischen Inhalt der Worte identisch und gleich darlegen. Ihren 
allgemeinen logischen Inhalt betrachte ich allerdings gemäß § 4d als 
gegeben; seine Erörterung gehört nicht in die Mathematik. Dieser 
eignet nur die Frage, wie man diesen Inhalt für mathematische 
Objekte auf Grund der vorstehenden Erörterungen festzusetzen hat. 
Da sich jedes mathematische Objekt auf eine gewisse Definition stützt, 
so lautet unsere Frage genauer so, unter welchen Bedingungen man 
auf die Identität zweier verschiedenartig definierten Objekte 
schließen kann. Die Antwort ist evident; es kann dies immer und 
nur dann der Fall sein, wenn die Eigenschaften, die den Inhalt der 
einen Definition bilden, sich als Folge derjenigen erweisen lassen, die 
in der andern Definition enthalten sind (gleichwinkliges und gleich- 
seitiges Dreieck, rationale Funktion und analytische Funktion mit 
einer endlichen Zahl von singulären Stellen, Kurve zweiter Ordnung 
und Kurve zweiter Klasse usw.) Diese Vorschrift gilt ebenso für 
einzelne Objekte gleicher Art wie z. B. für Punkte. Auch zwei 
verschiedenartig bestimmte Punkte sind nur dann identisch, wenn die 
eine Bestimmungsweise aus der andern gefolgert werden kann. Eine 
x ) Journ. für Math. 135 (1909) S. 85. 
2 ) Man könnte übrigens auch das ,, W u in gewisser Hinsicht als uneigentliches 
Objekt zulassen, und zwar für die Theorie der Abschnitte, und könnte dann sagen, daß 
jede wohlgeordnete Menge einen Abschnitt dieses W bildet. Es würde dann für den 
Mathematiker in derselben Weise sinnlos sein, von W, m zu reden, wie es für ihn sinnlos 
ist, von 0:0 zu sprechen oder vom unendlichfernen Punkt der unendlichfernen Geraden. 
Übrigens pflegt man analog in der gewöhnlichen Theorie der reellen Größen auch 
ein Symbol oo als uneigentliche Zahl für gewisse Zwecke in Betracht zu ziehen. 
