Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 277 
andere Möglichkeit, diese Identität zu behaupten oder zu erhärten, 
scheint mir ausgeschlossen. Naturgemäß ist die Frage nach der 
Identität zweier verschiedenartig definierter Objekte von dem momen- 
tanen Stande der Wissenschaft abhängig und kann im Einzelfall lange 
eine offene bleiben. Insbesondere wird aber auch die Verschiedenheit 
erst dann behauptet werden können, wenn bewiesen ist, daß die eine 
Definition nicht eine Folge der andern ist. 
Neben die Frage, wann zwei verschiedenartig definierte Objekte 
als identisch zu gelten haben, tritt die andere, wann man für ver- 
schiedene mathematische Objekte einen Gleichheit sbegriff aufstellen 
kann. Ich beschränke mich hier auf die kurze Bemerkung, daß dies 
bekanntlich gemäß dem bekannten Prinzip der Permanenz immer 
und nur dann gestattet ist, wenn für die betrachtete Beziehung die 
grundlegende Eigenschaft dieses Begriffes erfüllt ist; wenn also aus 
a = b und b = c auch a — c folgt. Ein weiteres ist an sich nicht 
erforderlich. Insbesondere wird hierfür ein bestimmter materieller 
Inhalt der Beziehung nicht verlangt. Die numerische Gleichheit, 
die Fiächengleichheit, die Inhaltsgleichheit, die Gleichmächtigkeit usw. 
gehören hierher. Ob die Ausdehnung des Gleichheitsbegriffs auf irgend 
eine Beziehung erlaubt ist, ob also für sie die obige grundlegende Tat- 
sache besteht, ist naturgemäß ebenfalls immer Sache der Untersuchung. 
Die vorstehende Festsetzung der Identität stimmt der Sache 
nach mit derjenigen überein, die Dedekind gegeben hat; 1 ) allerdings 
wird bei ihm und anderen Identität und Gleichheit nicht wie oben 
geschieden. Seine Definition bezieht sich auch nur auf Symbole oder 
Zeichen, die den einzelnen mathematischen Objekten entsprechen; er 
nennt sie gleich, wenn sie Zeichen für dasselbe Objekt sind, oder 
wenn sich beweisen läßt, daß sie demselben Objekt entsprechen (z. B. 
a ( b -f- c) und a b -j- a c). tm Rahmen dieser Festsetzung ist daher die 
Gleichheit zweier verschiedenartig eingeführter Zeichen in derselben 
Weise Sache der Untersuchung, wie hier die Identität zweier Defi- 
nitionen. Man könnte dem DEDEKiNDschen Sprachgebrauch auch 
allgemein folgen, und z. B. die Begriffe Kurve 2. Ordnung und Kurve 
2. Klasse als verschiedene Bezeichnungen für dasselbe mathematische 
Objekt ansehen. 
Der DEDEKiNDschen Auffassung folgt ah cli Pasch; *) dagegen sind 
die meisten sonstigen mathematischen Festsetzungen, die diese Be- 
griffe betreffen, vielfach nur Wortdefinitionen. Der innere Grund 
!) a. a. O. S. 2. 
] ) Grundlagen der Analysis, S. 36. Ebenso auch bei Zermelo, Math Ann. 65 
(1908) S. 262. 
