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A. SCHOENFLIES. 
scheint mir der zu sein, daß sie meist darauf ausgehen, den all- 
gemeinsten logischen Inhalt des Wortes „gleich“ oder „identisch“ 
auszudrücken, anstatt sich darauf zu beschränken, welche besondere 
Formulierung diesem logischen Begriff für den Spezialfall der 
mathematischen Objekte zu geben ist. 
Ich beginne mit der Definition, die Hilbert in seinem Heidel- 
berger Vortrag gegeben hat. Sie ist enthalten in den symbolischen 
Gleichungen : 
1) x = x\ 2) j x = y und w (x) } w (y), 
und hat, in Kürze ausgedrückt, folgenden Inhalt: Ist w (x) eine Aus- 
sage, die die „Willkürliche“ x betrifft, so muß die nämliche Aussage 
für die „Willkürliche u y bestehen, falls y das nämliche ist, wie x. Es 
heißt dann weiter, daß 1) und 2) die Definitionen des Begriffes „gleich“ 
bilden und als solche auch Axiome genannt werden. 
Augenscheinlich handelt es sich auch bei Hilbert — im Sinne 
seines Vortrages — darum, den allgemeinen logischen Inhalt des 
Gleichbegriffs festzulegen; und wenn ich recht vermute, unter dem 
Einfluß von Russell. Dessen Definition stimmt nämlich sachlich mit 
der HiLBERTSchen überein; sie ist eine Wortdefinition, die folgender- 
maßen lautet: Identity is defined as follows: x is identically with y 
if y belongs to every dass to whicli x belongs; in other words if is 
a u u implies „y is a u u for all values of u. 1 ) 
Bei Vahlen findet sich die folgende Definition: Zwei Dinge a und b 
heißen gleich, wenn a eine Teilmenge von b und b eine Teilmenge von a 
ist; sonst ungleich oder verschieden. Die Definition beruht darauf, daß 
Vahlen vorher gesagt hat: Jedes Ding ist eine Menge und jede Menge 
ein Ding. 2 ) Ihre Unvollkommenheit entspringt meines Erachtens daraus, 
daß in ihr der logische und der mathematische Inhalt des Begriffs 
verquickt werden; die Worte „zwei Dinge“ lassen es ganz unbestimmt, 
ob sie sich auf die Gleichheit verschiedener Dinge oder auf die Identität 
verschiedener Symbole beziehen soll. 
Zermelo stellt zwar die DEDEKiNDsche Definition an die Spitze; 
dann aber heißt es: Die Frage, ob a = b ist, ist immer definit (also 
entscheidbar), da sie gleichbedeutend sei mit der Frage, ob a e j b \ 
1 ) Principles, § 24 (S. 20), (wo übrigens ein Druckfehler vorhanden ist). Russell 
unterscheidet zwischen identity und equalitv wie folgt: equality of a and b is defined 
by the eqnivalence (!) of ,,x is a u u and „x is a b“ for all values of x (a. a. O. S. 21, § 24). 
2 ) Abstrakte Geometrie, Leipzig, 1905, S. 7. Die Begriffe ,, Menge“ und „Ding“ 
werden dadurch logisch identisch (wenn jedes A ein B und jedes B ein A ist), was 
Vahlen wohl kaum sagen wollte. 
