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A. SCHOENFLIES. 
2. Zwischen den Dingen des Bereiches 33 bestehen gewisse 
„ Grund beziehungen“ der Form a e b (dies bedeutet, daß a 
Element der Menge b sei). 
Man vergesse aber nicht, daß die so eingeführten Worte und 
ebenso das Zeichen e einen mathematischen Inhalt erst durch die sie 
verbindenden Axiome erhalten können. Zu diesem Zweck stellt Zermelo 
zunächst drei Axiome auf, auf deren Wortlaut es an dieser Stelle nicht 
ankommt. Nur das ist wesentlich, daß in keinem von ihnen das 
Wort „Bereich“ vorkommt. Trotzdem wird aus ihnen eine Folgerung 
abgeleitet, die den Bereich betrifft; nämlich die, daß der Bereich keine 
Menge ist. (a. a. 0. S. 265.) Das verstößt aber evidentermaßen 
gegen die in § 4 enthaltenen Ausführungen. 
Es könnte ja nun sein, daß hier nur ein formaler Mangel vor- 
liegt. Daß ist in gewisser Hinsicht in der Tat der Fall. 
Außer den drei genannten Axiomen enthält nämlich die 
ZERMELOSche Arbeit noch einige Festsetzungen, denen man ebenfalls 
axiomatischen Charakter beilegen muß, und die das Wort „Bereich“ 
enthalten. Und es wäre ja zunächst möglich, daß in ihnen eine, den 
Bereich betreffende materielle Bestimmung, enthalten ist. Allerdings 
trifft auch das nicht zu. Zwei dieser Festsetzungen sind bereits oben 
erwähnt worden; die dritte lautet folgendermaßen: Eine Frage oder 
Aussage, über deren Gültigkeit oder Ungültigkeit die Grundbeziehungen 
des Bereiches vermöge der Axiome und der allgemein gültigen logischen 
Gesetze ohne Willkür entscheiden, heißt „definit“. 1 ) Diese drei Fest- 
setzungen lassen sich aber offenbar so abändern, daß das Wort,, Be- 
reich 4 * aus ihnen ganz verschwindet, ohne daß sie ihren 
materiellen Inhalt ändern. Sie lauten dann: 
Die Mengenlehre hat es zu tun mit gewissen Objekten, die 
wir einfach als Dinge bezeichnen wollen. . . . 
Z wischen diesenDingen bestehenGrund beziehungen derF orm aeb und 
Eine Frage oder Aussage über deren Gültigkeit oder Ungültigkeit 
die zwischen den Dingen a und b bestehenden Grundbeziehungen usw. 
Das Wort Bereich ist also für seine axiomatischen Annahmen in 
der Tat ganz entbehrlich. 2 * ) Ich vermute auch, daß die Auslassung 
b Beiläufig bemerkt, dürften diese Worte zugleich darauf hinauskommen, den kontra- 
diktorischen Charakter der Mathematik zu betonen, daß also die Entscheidung auf 
kontradiktorischer Grundlage möglich sein muß. 
2 ) Meines Erachtens ist die obige Formulierung sogar der ZERMELOschen vorzuziehen ; 
auch in Hilberts Grundlagen wird in den Axiomen nur von den Punkten, Geraden 
und Ebenen gesprochen und nicht davon, daß es Punkte, Gerade und Ebenen des 
Raumes sind — was dem Bereich analog sein würde. 
