Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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einer den Bereich treffenden Festsetzung von ihm mit Absicht ge- 
schehen ist, und zwar gerade um ihn von vornherein als mathematisches 
Objekt auszuschließen, wie es auch bei Hilbert der Fall ist (§ 5). 
Dann kann man aber auch keinen Satz über ihn aussprechen. 
Trotzdem ist der genannte Mangel sachlich ohne Belang. Denn 
sachlich ist ein Satz dieser Art auch für die ZERMELOsche Grundlegung 
durchaus entbehrlich ; sie bleibt was sie ist, wenn man die den Bereich 
betreffende Folgerung aus ihr streicht — zumal sie ja nur einem 
Zweck dient, der auch auf andere Weise erreichbar ist, nämlich der 
Ausschließung der RussELLschen Menge. 1 ) 
Eine zweite Bemerkung ist folgende. Zermelo operiert — und 
zwar für den Beweis des den Bereich 53 begründenden Satzes — mit 
der Beziehung aea. Es heißt bei ihm (S. 264), daß die Möglichkeit 
a € a an und für sich durch seine Axiome nicht ausgeschlossen sei. 2 ) 
Dem muß ich entgegen!) alten, daß eine materielle Beziehung axioma- 
tischer Natur — und diese soll doch durch e ausgedrückt werden — 
überhaupt nur für zwei von einander verschiedene Objekte ein- 
geführt werden kann. Ein Symbol aea kann deshalb nur in un- 
eigentlicher Bedeutung (§ 6) zugelassen werden; und ob dies gestattet 
ist, bedarf in jedem einzelnen Fall der Untersuchung. Keineswegs 
aber kann es ohne jegliche derartige Untersuchung als Beweismittel 
benutzt werden. 3 ) 
Drittens weise ich auf einen Fall hin, in dem Zermelo gegen 
die von ihm auf gestellte Forderung, Mengen nicht independent ein- 
zuführen (vgl. § 4c), tatsächlich verstößt. Er will zeigen (S. 264), daß 
auch für mehr als zwei Mengen ein gemeinsamer Durchschnitt existiert. 
Wenn nun auch das Postulat der unendlichen Mengen erst S. 266 als 
Axiom VII aufgestellt wird, so ist doch klar, daß alle vorhergehenden 
Axiome und Darlegungen von vornherein so gemeint sind, daß sie 
sich auch auf unendliche Mengen beziehen können; wäre dies nicht 
die Absicht, so bedürfte ja ihre Übertragbarkeit auf unendliche Mengen 
für jedes einzelne Axiom und jede Beweisführung einer neuen axio- 
Ö Meines Erachtens lassen sieh Widersprüche überhaupt nicht durch irgenwelche 
Form der Axiome absolut ausschließen, sondern immer nur so, daß man nie einen 
andern Gebrauch von den Axiomen macht, als einen solchen, der mit den Regeln der 
Logik und den Tatsachen der Mathematik verträglich ist. 
2 ) Eine derartige Unbestimmtheit stellt übrigens im Sinne von § 4d einen Mangel 
der axiomatischen Begründung dar. 
3 ! Auch in der Benutzung des Symbols aea scheint Zermelo unter dem Einfluß 
Russells zu stehen; vergl. den Schlußparagraphen. 
Schriften d. Physik. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang LI. 
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