Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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welchem Algorithmus sie folgt. Trotzdem eine direkte Bestimmung 
dieses Funktionsverhältnisses nicht vorliegt, ist doch in den Axiomen 
— wenigstens in gewisser Hinsicht — eine solche enthalten. Bildet 
man nämlich die Menge T, die aus ja} und j b j als Elementen be- 
steht, so kann man zu ihr die ZERMELOsche Vereinigungsmenge © T 
bilden, und hat für sie unmittelbar die Gleichung: * 1 ) 
© T= | a, b } = | a \ -f j b [. 
Denn die Menge © T enthält einerseits die Elemente der Mengen 
von T als Elemente, und andererseits hat man nach Zermelo, wenn 
T — jiLf, N, JR . . . } ist, © T = M + N - \- R ... . Das gleiche, wie für 
die Mengen j a }, j b }, . . . gilt für jede Menge, welches auch ihre 
Elemente sein mögen. 
§ 9. Eine axiomatische Einführung der Mengenlehre. 
a) Allgemeiner Teil. 
Die ZERMELOsche Grundlegung ruht, wie schon erwähnt, wesent- 
lich auf dem Unterschied von a und ja}; ihm ist auch Hessenberg 
in seiner Erörterung der wohlgeordneten Mengen gefolgt. 1 ) Es scheint 
mir aber von Wert und von Interesse zu sein, zu zeigen, daß die 
Mengenlehre auch auf anderem Wege axiomatisch streng und sachlich 
begründet werden kann, zumal mir dieser Weg als der natürlichere 
erscheint. 
Gleich Zermelo stelle ich einen Begriff „Grundbeziehung“ an die 
Spitze. Ich verstehe darunter die durch £ dargestellte grundlegende Be- 
ziehung, und habe sie zunächst durch gewisse Axiome inhaltlich zu 
bestimmen. Vielleicht hat Zermelo dieses Wort in Anlehnung an 
analoge Verhältnisse der Geometrie gebildet; jedenfalls halte ich es 
für nützlich, die mengentheoretischen Grundbeziehungen mit denen 
der Geometrie in Parallele zu setzen. Beschränkt man sich der Ein- 
fachheit halber auf die Ebene, so kommt diejenige geometrische Be- 
ziehung in Frage, die die Inzidenz von Punkt und Gerade betrifft; 
ich will sie in die Form Aib setzen. Dann haben wir in der Geometrie 
das folgende erste Axiom, daß aus Aib auch biA folgt. Umgekehrt ist 
es in der Mengenlehre; hier treffe ich die Festsetzung: 
Zwischen zwei von einander verschiedenen Objekten a und b soll 
eine durch £ ausgedrückte Beziehung a e b bestehen, für die die folgenden 
Axiome gelten: 
ö Yergl. Math. Arm. Bd. 65 (1908) S. 265. 
1 ) Journ. f. Math. Bd. 135 (1909) S. 81. 
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