Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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stehen zugleich die Beziehungen Aib und A i b\ so is A das einzige 
derartige Objekt. 2. Es gibt außer fr und fr' noch andere Objekte, die 
zu A diese Beziehung haben; und 3. irgend zwei dieser Elemente be- 
stimmen wiederum das Objekt A , und damit die sämtlichen Objekte, 
die außer b und fr' diese Beziehung haben. 
Für die Mengen trifft keines dieser Axiome zu; das zweite nur 
in der modifizierten Form, die bereits unter 3 a erwähnt ist. Kurz- 
gesprochen kann man sagen, daß in der Geometrie die Elemente fr, 
die mit A die Beziehung A i fr haben können, durch A eindeutig be- 
stimmt sind, während hier das Objekt fr durch die Elemente a eindeutig 
bestimmt ist, und zwar so, daß die Elemente a keinerlei Beschränkung 
unterliegen. Dies drücken wir durch folgendes Axiom aus: 
4. Das Objekt fr ist durch die Elemente, die mit ihm die Be- 
ziehung a e fr haben, eindeutig bestimmt. Es soll die durch seine 
Elemente bestimmte Menge heißen. 
Gemäß § 7 folgt daraus noch, daß zwei verschiedenartig 
definierte Mengen dann und nur dann identisch sind, wenn jedes 
Element der einen Menge auch Element der andern ist. 
Hier ist die Stelle, an der wir die aus einem Element bestehende 
uneigentliche Menge einzuführen hätten. Bisher wurde nämlich an- 
genommen, daß nur eine Mehrheit von Elementen eine Menge 
bestimmen kann; dem gegenüber wird es sich empfehlen, für 
gewisse Axiome oder Operationen auch die uneigentliche 
Menge \a\ zuzulassen; was im Sinne von § 6 natürlich in jedem Fall 
der Prüfung oder des Nachweises der Berechtigung bedarf. Das 
gleiche gilt von der sogenannten „Nullmenge“. 
Durch die Axiome 3 und 4 erhält der Mengenbegriff in derselben 
Weise den Charakter des Subjektiven, wie der Funktionsbegriff in 
der Analysis; die Menge erscheint auch hier als eine eindeutige 
Funktion ihrer Elemente. Damit tritt also auch für die „Grund- 
beziehungen“, die in der Geometrie und in der Mengenlehre gelten, ein 
prinzipieller Gegensatz in die Erscheinung. Er entspricht dem be- 
kannten GAUSsischen Ausspruch, daß die „Raumlehre zu unserm Wissen 
der selbstverständlichen Wahrheiten eine ganz andere Stellung hat, 
als die reine Größenlehre usw. . . . A ) Daher sind auch die in der 
Geometrie und in der Mengenlehre vorhandenen besonderen Beziehungen 
von durchaus verschiedenem Charakter. In der Tat sind sie in der 
Geometrie durch die Natur des Raumes objektiv bedingt; in der 
Mengenlehre dagegen sind sie ganz unseres Geistes Kinder, dem hierauf 
3 Brief an Bessel vom Jahre 1829. 
