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A. SCHOENFLIES. 
anwendbaren CANTORSclien Wort gemäß, daß das Wesen der Mathe- 
matik in ihrer Freiheit liege. Auch deshalb halte ich den ZERMELOschen 
Gedankengang, der den Bereich und die in ihm vorhandenen Grund - 
beziehungen als objektiv existierend voraussetzt, nicht für zweckmäßig. 1 ) 
Wir kommen nun zu einer letzten Festsetzung, die das Zeichen e 
betrifft. Auf Grund des Axioms 4 haben wir Menge und Element 
als verschiedene mathematische Begriffe zu betrachten (werden also 
dafür von nun an auch große und kleine Buchstaben verwenden). 
Wir bedürfen aber noch eines Axioms, das auch die Mengen als Ele- 
mente zuläßt. Dieses drücken wir kurz folgendermaßen aus: 
5. In den sämtlichen vorhandenen Axiomen sollen die Elemente 
auch durch Mengen ersetzbar sein; oder aber: 
5a. Auch wenn A und A' zwei von einander verschiedene Mengen 
sind, soll eine Beziehung der Form AeA' bestehen können. 
Es ist nun zunächst zu zeigen, daß die Axiome 5 mit den 
Axiomen 1 bis 4 verträglich sind. Dies beruht darauf, daß erstens 
auch in den Axiomen 1 bis 4 stets a und b von einander ver- 
schiedene Objekte sind, und daß sie zweitens einer sonstigen Be- 
schränkung nicht unterliegen. 
Weiter bedürfen wir endlich eines Axioms, das in der Sprache 
des Herrn Hessenberg den transitiven Charakter des Zeichens e aus- 
drückt, und insbesondere auch das ZERMELOsche Axiom der Ver- 
einignngsmenge enthält. Die Vereinigungsmenge entspricht der 
Tatsache, daß es gestattet sein soll, von einer Menge A, die die Menge A' 
als Element enthält, zu einer Menge überzugehen, der die Elemente 
von A' angehören. Dazu stellen wir das folgende Axiom auf : 
6. Aus den Beziehungen 
a e A und A e A' oder A e A! und A! e A" 
soll eine Beziehung a e resp. A e 2[ gefolgert werden dürfen, wo auch 21 
eine Menge ist; was formal durch die Gleichungen 
(a e A) {A e A') — a e%[ und (A e A') [A' e A") = A e $1 
dargestellt werden kann; und zwar ist die Menge 21 folgendermaßen 
bestimmt : 
P Wenigstens glaube ich Zermelo richtig zu verstehen, wenn ich annehme, 
seine Grundbeziehungen seien realisiert durch alle an sich möglichen Beziehungen der 
Form a e b, also durch die Gesamtheit aller möglichen Mengen oder Mengenbildungen, 
seien sie bekannt oder uubekannt; in demselben Sinn wie man auch von dem ,,Bereich u 
aller mathematischen Gesetzmäßigkeiten sprechen könnte, die doch latent existieren, 
auch wenn sie uns noch nicht zugänglich geworden sind, oder von allen geometrischen 
Figuren und Sätzen, die im ,,Raum“ möglich sind. 
