Uber die Stellung der Definition in der Axiomatik. 
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6a. Zu einer Menge deren Elemente sämtlich oder teilweise 
Mengen sind, gehört stets eine und nur eine Menge $1; ihr gehört 
jedes Element an, das Element entweder von ^ oder von einer Menge u4' 
ist. Sie heißt die zu gehörige Ver einigungsmenge. 1 ) 
Dieses Axiom soll übrigens auch den Fall treffen, daß die 
Elemente einer Menge nicht von vornherein als Mengen definiert sind, 
wohl aber durch solche ersetzbar sind ; es gestattet also von der Menge A 
aller Geraden auf Grund der Tatsache, daß jede Gerade als Menge ihrer 
sämtlichen Punkte aufgefaßt werden kann, zur Menge xd aller Punkte 
des Raumes überzugehen. 
Mit den vorstehenden Axiomen sind zunächst die abgeschlossen, 
die die mathematische Bedeutung des Zeichens e und der durch 
e charakterisierten Grundbeziehung betreffen, die also, wie man sagen 
kann, für den allgemeinen Teil der Mengenlehre die Grundlage 
bilden. Auf sie können die weiteren Operationen und Begriffe der 
allgemeinen Mengenlehre in gewohnter Weise gegründet werden, 
z. B. der Begriff der Teilmenge, des gemeinsamen Multiplums, 
des gemeinsamen Teilers usw. Insbesondere läßt sich auch zeigen, 
daß die uneigentliche Menge j «{ und die „Nullmenge“ für die 
genannten Operationen ebenso verwendbar sind, wie die eigentlichen 
Mengen. 
b) Spezieller Teil. 
Es entsteht nun die Frage, wie man Objekte herstellen kann, 
die dem so eingeführten Mengenbegriff entsprechen. Dabei bleiben 
naturgemäß die endlichen Mengen als der triviale Fall außer Betracht; 
die Frage, um die es sich hier handelt, ist vielmehr die, ob sich außer 
ihnen noch andere mathematisch verwendbare Objekte erschaffen oder 
angeben lassen, die den vorstehenden Bestimmungen entsprechen, 
und wie insbesondere die Auswahl der Elemente, die zu einer 
Menge zusammentreten sollen, zu geschehen hat. Darauf ist 
im Anschluß an die allgemeinen Ausführungen von § 4 folgendes zu 
antworten : 
1. Wie bereits oben (§ 8) erwähnt, ziehen wir als Elemente 
nur mathematische Objekte in Betracht. Aus den früher genannten 
Gründen ist diese Selbstbeschränkung sachlich gerechtfertigt und 
geboten. 
2. Die Mengenlehre kann unmöglich die Aufgabe haben, bei der 
axiomatischen Grundlegung ihrer Begriffe und Beziehungen auch das 
gesamte Gebiet der Arithmetik und Analysis vor ihr Forum zu ziehen. 
Ü Daß es nur eine solche Menge gibt, folgt allerdings bereits aus dem Axiom 4. 
