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A. SCHOEN FLIES. 
Sie muß sich darauf stützen können, daß sie gewisse Hilfsbegriffe von 
den andern Wissenschaften entlehnt, insbesondere also den Funktions- 
begriff und das ihm aequivalente ZERMEuosche Aussonderungsprinzip. 
Beachten wir nun, daß die Elemente, die zu einer Menge zusammen- 
treten können, unabhängig voneinander sind, so werden wir, um 
spezielle Mengen zu bilden oder zu definieren — denn darum handelt 
es sich an dieser Stelle nur — jede Vorschrift zulassen dürfen, 
die sich dem kontradiktorischen Gefüge der Mathematik 
ein reihen läßt, die also nicht etwa den logischen oder den mathe- 
matischen Gesetzen widerspricht — was naturgemäß stets Sache der 
Untersuchung ist. Eine andere oder auch eine engere Entscheidung 
allgemeiner Art zu treffen, J ) würde gegen die allgemeinen Erörterungen 
von § 4 verstoßen. Daß die erste Vorschrift dieser Art die unend- 
liche Menge selbst als mathematisches Objekt axiomatisch einführen 
muß, z. B. so wie es bei Dedekind der Fall ist, ist evident. Es ist 
aber auch jede Menge als mathematisches Objekt einführbar, die im 
Sinn von § 4d „independent“ definierbar ist; 2 ) ihre Widerspruchs- 
losigkeit natürlich vorausgesetzt. Daß diese für die Menge aller 
mathematischen Objekte nicht vorhanden ist, bedarf keiner weiteren 
Erörterung; ebenso wenig für die Menge aller mathematischen Objekte 
bis auf eins, 3 ) oder bis auf eine abzählbare Menge, oder bis auf sämt- 
liche Punkte des Raumes; alles dies sind Bestimmungen, die auf Grund 
der vorhandenen Rechnungsregeln zu Folgerungen führen würden, die 
jenseits des kontradiktorischen Rahmens liegen ; ihnen können daher 
mathematische Objekte nicht entsprechen. 4 ) 
Ich schließe mit folgender allgemeinen Bemerkung. Die Sonder- 
stellung der unendlichen und insbesondere der wohlgeordneten Mengen 
ist augenscheinlich dann begründet, daß sie in der allgemeinen mensch- 
lichen Erfahrung keine Stütze haben; im Gegensatz zur Geometrie oder 
zur Theorie der reellen Funktionen, die beide aus der Verarbeitung der 
unmittelbaren Erfahrung stammen. Freilich wissen wir, daß es auch 
hier spezielle mathematische Probleme waren, die Cantor — nach 
langem Zögern — zu ihrer Erschaffung nötigten. Sie stehen darin 
2 ) Diese engere Vorschrift ist in Zermelos Axiom der Aussonderung mittelbar 
enthalten; vgl. die Ausführungen von § 4c. 
2 ) Sachlich stimmt dies mit der Auffassung von Cantor und Dedekind darüber, 
wann man eine Menge als definiert ansehen darf, überein. 
3 ) Auch dieses scholastische Beispiel stammt von Russell. 
4 ) Die Sätze über die Addition von Mengen würden nämlich wieder auf die Menge 
aller mathematischen Objekte führen. Zudem liegt auch ein Fehler der Definitionen 
insofern vor, als sie sich auf Worte stützen, denen ein mathematisches Objekt nicht 
entspricht, nämlich die Menge aller mathematischen Objekte. 
