Eine Abbildung der transfiniten Kardinaitheorie auf das Endliche. 
transfiniten Kardinal- und Ordinalzahlen, jene Verallgemeinerungen 
des endlichen Anzahlbegriffes, sind aktual unendlich große Zahlen . 
Um später nicht mißverstanden zu werden, betone ich, daß auch ich < 
in dieser, kurz gesagt, aktualen Begründung der Lehre von den un- 
endlichen Mengen ihre Stärke -und Bedeutung erblicke. 
Aber sollte dieser aktualen Betrachtungsweise nicht vielleicht 
eine potentielle ergänzend an die Seite treten können? Sollten sich 
die Eigenschaften unendlicher Mengen nicht schon approximativ an 
denen endlicher Mengen manifestieren, ähnlich wie etwa die Eigen- 
schaften der Differentialquotienten an denen der Differenzenquotienten, 
sodaß dadurch etwas dem Limesbegriffe Analoges in den Aufbau der 
transfiniten Mengenlehre eintreten würde? Daß diese Fragen zu be- 
jahen sind, daß wir, durchaus im Gebiete der endlichen Zahlen blei- 
bend, Begriffe und Sätze hinstellen können, von denen jene der 
transfiniten Mengenlehre nur Grenzfälle sind, soll im Folgenden auf- 
zuzeigen versucht werden; dabei werde ich mich an dieser Stelle auf 
das hierbei näherliegende der beiden Teilgebiete der Mengenlehre be- 
schränken, die Kardinaltheorie. 
In diesem Sinne also ist der in der Überschrift herangezogene 
Ausdruck ,,Abbildung u aufzufassen : Diese Abbildung des Transfiniten 
auf das Endliche ist eine approximative, wie es etwa auch die schon 
mehrfach erwähnte Abbildung von Differentialquotientensätzen auf 
Sätze über Differenzen quotienten ist. 1 ) Was eine solche unvollkom- 
mene Abbildung zu einer brauchbaren macht, ist der Umstand, daß 
die Abbildungsfehler um so geringer werden, je mehr wir uns dem 
Grenzfalle nähern, was bei unserem Problem ungefähr soviel be- 
deutet, wie: je größer wir die Elementenzahl der zur Abbildung her- 
angezogenen endlichen Mengen wählen. 
Auf die weitere mögliche Bedeutung einer solchen potentiellen 
Darstellung kann ich erst am Schlüsse eingehen; ebenso wird sich 
erst nachträglich zu erkennen geben, daß den folgenden zunächst 
vielleicht etwas fremdartig anmutenden Betrachtungen nur scheinbar 
etwas Künstliches anhaftet, daß sie vielmehr nur eine der vorliegen- 
den Aufgabe angepaßte Weiterverfolgung von Tatsachen darstellen, 
die aus den Anwendungsgebieten der Mathematik jedermann be- 
kannt sind. Man kann, wenn man will, in den folgenden Entwicke- 
lungen eine approximative Arithmetik großer Zahlen erblicken. 
q Es dürfte in der Natur der Sache liegen, daß jede solche Abbildung not- 
ivendig unvollkommen sein muß; Endliches und Unendliches sind eben ihrer schon 
betonten Wesens Verschiedenheit wegen durch eine unüberbrückbare Kraft getrennt. 
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