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Th. Kaluza 
I. Die Operation vierter Stufe. 
A. Allgemeines. 
Die Möglichkeit, das vorliegende Problem in übersichtlicher 
Weise zu behandeln, bietet die Mitheranziehung einer sonst ziemlich 
unbrauchbaren und bedeutungslosen arithmetischen Operation, der 
sogenannten echten Operation vierter Stufe, von der dieser erste Ab- 
schnitt handeln soll. Wir werden dabei zweckmäßig die genannte 
Operation zu der unechten Operation derselben Stufe und den all- 
bekannten Operationen niederer Stufe in Parallele setzen. Um dies 
auch in der Bezeichnung hervortreten zu lassen, ist die für die 
Operationen vierter Stufe hauptsächlich mit Rücksicht auf den Druck 
gewählte Bezeichnungsart rückwärts auch auf Potenzierung und 
Multiplikation ausgedehnt worden. Die Beschränkung auf die Zahl 
Zivei als Operanden findet natürlich auch nur der Bequemlichkeit 
halber statt; man konnte alle folgenden Entwickelungen ebensogut, 
wenn auch etwas umständlicher, auf jede andere reelle Zahl, die größer 
als Eins ist, basieren. 
Alle auftretenden Zahlen sollen reell und, falls nichts Gegen- 
teiliges bemerkt ist, nicht negativ sein; die Buchstaben g, h, m ) n 
werden stets natürliche Zahlen, die anderen k, l , r, s natürliche Zahlen 
oder Null bedeuten, während beliebige Zahlen mit a, b, c, d bezeichnet 
werden mögen; analog sollen u und v ganzzahlige, x, y und z hin- 
gegen allgemeine Variable bedeuten. 
Setzen wir ein und dieselbe Zahl (ein- oder) mehrfach als 
Summanden, so erhalten wir aus der Operation erster Stufe, der 
Addition, die Multiplikation als Operation zweiter Stufe, etwa: 
(1) 2 + 2 + 2-f - + 2+2 (n Zweien) = 2 • n ; 
analog bekommen wir durch wiederholte Setzung derselben Zahl als 
Faktor die Operation dritter Stufe, die Potenzoperation , gemäß: 
(2) 2 • 2 • 2 ♦ • 2 • 2 (n Zweien) = 2 n . 
Aus ihr nun kann man wegen der Ungültigkeit des kommutativen 
Gesetzes für die Potenz auf zwei verschiedene Arten eine Operation 
vierter Stufe herleiten, einmal nach der Gleichung: 
I 
l ( (2 2 ) 2 
( n Zweien) = 2 , 
( 3 ) 
