Eine Abbildung der transfiniten Eardinaltheorie auf das Endliche. 
O 
sodann nach der andern: 
(n Zweien) = 2 | n- (4) 
Von diesen beiden Operationen liefert nur die zweite wirklich 
n 
etwas Neues, denn die erste, also 2 , ist wegen des Potenzgesetzes 
& 9 ) h =iSp g ' h identisch mit 2 ( 2n— 1 ), also in einfacher Weise auf eine 
doppelte Potenz zurückführbar, bei 2 | n hingegen ist eine solche 
Reduktion nicht möglich, wir haben daher in 2 | n die echte Operation 
n 
vierter Stufe, im Gegensatz zur unechten 2 , zu erblicken. 
In der Folge werden wir schreiben: 
M (u) für 2 • u (Multiplikation), (5 a) 
P(u) „ 2 M (Potenz), (5 b) 
V (u) „ 2| u (Vierte Stufe) und (5 c) 
u 
U (* u ) „ 2 (Unechte Operation vierter Stufe), (5 d) 
Für diese Funktionen, die nach den obigen Gleichungen zunächst nur 
für natürliche Zahlen als Argumente definiert erscheinen, notieren wir 
die Rekursions formein : 
M (u 1) = M {u) ~f- 2, (6 a) 
P ( u -f- 1) -= P [u) • 2, (6 b) 
U {u -f- 1) = ( TJ(u )) 2 und (6 c) 
V (u -}•' 1) = 2 v M (6 d) 
sowie die anderen: 
M{u • m) M (u) • m, (7 a) 
P(u • m) = ( P(u )) rn und (7 b) 
TJ (u • m) = ( U(u )) p ( u ( m — b); (7 c) 
hier existiert eine vierte, den obigen drei analoge Formel, die V ( u • m) 
in einfacher Weise auf V ( u ) zurückzuführen gestatten würde, nicht. 
Bezeichnen wir in gewohnter Weise die Aufeinanderfolge, mehrerer 
verschiedener Operationen durch einfaches Aneinanderfügen der sie 
kennzeichnenden Buchstaben, also als symbolisches Produkt, die Iteration 
einer und derselben Operation als symbolische Potenz, so schreiben sich 
zunächst die Formeln (6 b) und (6 d) wie folgt: 
P(u-\- 1) = MP (u) und 
V (u + 1) = PV (u). 
(8 b) 
(8 d) 
