0 Th. Kaluza 
Allgemeiner ist: 
(9 b) 
P (u-\- k) = M l P t u) und 
(9d) 
V (w + k) = P k V (m). 
Die Initialwerte der vier Operationen sind: 
(10) 
Jf(l) = P(l) = D r (l) = F(l) = 2. 
Ferner wird 
, dem Permanenzprinzip gehorchend 
(11a) 
M (0) = 0, 
(11b) 
P( 0) = 1, 
(11c) 
ü(0) = V 2 und 
(11 d) 
F (0) = 1 ; 
außerdem: 
(12d) 
F ( — 1) = 0. 
Von diesen vier Funktionen können wir die ersten drei ohne 
Schwierigkeit auf alle reellen Zahlen als Argumente amdehnen , ins- 
besondere auf alle positiven. Für M (u) und P (u) ist dies klar, für 
U (u) bestätigt man leicht die Allgemeingültigkeit der Identität: 
(13) U(x) = P 2 (x — 1). 
Bei V ( u ) hingegen ist eine ähnliche — an sich denkbare — Aus- 
dehnung nicht durchführbar, hauptsächlich wegen des oben betonten 
Fehlens einer Rekursionsformel für V (u • m). 
Es gelten für alle vier Funktionen die Monotoniegesetze: 
(14a) 
Aus 
x~y 
folgt: 
M(x)~M (?/), 
(14 b) 
x'—y 
V 
P te) ~ P ( y ), 
(14 c) 
11 
11 
U(x)~ U (y), und 
(14d) 
11 
U^V 
11 
V(u)^V(v). 
Für die ersten drei Funktionen liegt dies auf der Hand, für 
V (u) zeigen wir es hier durch vollständige Induktion : Falls 
V (k) <[ V {k -f- 1 ) ist, so gibt es eine natürliche Zahl g, die der Be- 
dingung genügt: 
(15) 
Fi k)<g < F(& + 1). 
