Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Daher ist wegen der Monotonie von P (x) auch: 
V(k+ l) = PV(k)<P(g) <PV(k+ 1) = V(k + 2) (16) 
oder zusammengezogen: 
V(k+l)<V(lc + 2y, (17) 
da nun F(0) = 1 2 = F(1) und F( — 1) = 0 ist, so folgt schließlich: 
Vfu) <C y {u + w) (18) 
und damit die Monotonie von V(u) im ganzen Definitionsbereich. 
Es gelten ferner die Abschätzungen : 
x<ZP{%) und (19b) 
u<fV(u). (19d) 
Die erste dieser Ungleichungen ist allbekannt, folgt aber auch direkt 
aus der Monotonie von V(u)\ denn es existiert zu jedem nicht negativen 
x ein so daß: 
V(u) <x<fV{u -f- 1), (20) 
während : 
Vfu j- 1) < P(x) <^V(u + 2), (21) 
woraus die Abschätzung unmittelbar folgt. Man sieht gleichzeitig, 
daß sich die Abschätzungsforme] für V(u) analog beweisen lassen 
wird: Definiert man nämlich die echte Operation fünfter Stufe, F (u ), 
durch die Rekursionsformel: 
F (u - f- 1) = V F (u) (22) 
und die Anfangswerte: 
F (— 1) == 0, F{ 0) = 1, F(l) = 2 usw., (23) 
so läßt sich der Nachweis von (19 d) vollkommen analog führen. 
Da es für das Folgende von Vorteil sein dürfte, von dem An- 
wachsen der einzelnen Funktionen, insbesondere vonF(^), eine Anschauung 
zu haben, setze ich in einer kleinen Tabelle ihre Werte für die ersten 
sechs natürlichen Zahlen als Argumente her: 
u 
M(u) 
P(u)\ U(u) 
V(u) 
1 
2 
2 
2 
2 
2 
4 
4 
4 
4 
3 
6 
8 
16 
16 
4 
8 
16 
256 
65 536 
5 
10 
32 
65536 
2 65 536 
6 
12 
64 
4294967296 
/ 65 356 \ 
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