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Th. Kaluza 
und bemerke, daß der vorletzte Wert in der letzten Kolonne, also 
V (5), ungefähr gleich 2 • 10 19 728 ist, also bereits eine Zahl mit 
19729 Stellen, während die Stellenzahl von V (6) bereits mehr als 
6*10 19727 beträgt, also selbst wieder eine 19728-stellige Zahl ist! 
Denkt man sich für den Moment V (u) unter Erhaltung der for- 
malen Gesetze zu einer für alle reellen x > — 1 definierten, stetig 
differenzierbaren Funktion V (x) ergänzt, so kann man auch über das 
Anwachsen der ersten Differentialquotienteu unserer vier Funktionen 
leicht Aufklärung erhalten. Aus den Gleichungen (6) findet man 
nämlich durch einmalige Differentiation: 
(25 a) 
M'(x + 1) 
M’ (x) 
= 1, 
(25 b) 
P'{x 4- l) 
= 2, 
P' (x) 
(25 c) 
U'(x+ 1) 
= 2 TJ (x) und 
U' (x) 
(25 d) 
v'(x + 1) 
= 1 2 • r (x + 1). 
V\x) 
Bei M (x) bleiben demnach die Differentialquotienten konstant, 
bei P (x) wenigstens noch das Verhältnis zweier konsekutiver, d. h. 
solcher, deren Argumente sich um eine Einheit unterscheiden, während 
bei TJ ix) dies Verhältnis proportional U (#), bei V (x) gar proportional 
V (x -f- 1) anschwillt. Durch wiederholte Rekursion können wir noch 
die expliziten Formeln gewinnen: 
(26 a) M'(r)=M'( 0), 
(26b) P’ (r) ==P' (0 ).P(r), 
r — 1 
(26 c) U' (r) = TJ' (0) • 2 r ü TJ (k) und 
0 
r 
(26d) V' ( r ) = F'(0) • (12) r • k H V (K). 
0 
Während also M'(r) konstant bleibt und P\r) nur proportional P{r) 
wächst, enthalten TJ\r) und V'(r) außer Exponentialfaktoren noch 
solche, die nach Art der Fakultäten aus konsekutiven TJ (k) bzw. V (k) 
gebildet erscheinen; durch diese wird in erster Linie ihr rasches An- 
wachsen bedingt. Will man die Steigung der einzelnen Funktionen, 
