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Th. Kaluza 
und überdies P° (0) = 0 ist, so folgt: 
(32) Z (u) = V(u) 
für alle — 1. Z (x) fällt also tatsächlich für alle ganzzahligen 
Argumente mit den entsprechenden Werten V(u) zusammen. 
Zum Beweise der Stetigkeit von Z(x) schreiben wir mit 0 < & < 1 : 
(33) Z{u 4- &) = P u + 1 {d'). 
Es folgt: 
(34) lim Z (u + &) = P u + 1 (1) = P u + 2 (0) = Z(u - f l) 
o = 1 
und damit die Stetigkeit von Z (x) an den fraglichen Stellen. 
Es wird mit anderen Worten zwischen je zwei sukzessive Werte 
V(u) = P u ( 2°) und V(u- 1- 1) =P U ( 2 1 ) gemäß (33) ein Stück der Funk- 
tion P u ( 2 Z ) eingeschaltet, und diese Stücke schließen sich zu einer 
durchweg stetigen Funktion Z (x) zusammen, die für unsere Zwecke 
geeignet ist, die nicht konstruierbare Funktion V (x) zu ersetzen. Man 
richtet sich bei dem Aufbau dieser Funktion nach dem Vorbilde von 
U (sc), bei der in ähnlicherWeise zwischen TJ (u) = TJ{u)^ 0>> inklusive 
und U (u -\- 1) = U (u) ( 2 die Werte TJ {u -f- ■&) = U (u) (2 4 eingeschaltet 
erscheinen. 2 ) 
Die so konstruierte Funktion Z (x) wächst offenbar monoton, 
besitzt aber keine durchweg stetige Ableitung. Daß Z' (x) wirklich an 
den ganzzahligen Stellen unstetig wird bzw. nicht existiert, ergibt 
sich so: Durch Differentiation nach & erhält man für A ö: 
U 
(35) ^ ' (u + &) = (12) « + i k IIZUc + &). 
o 
Es wird also: 
u 
(36) lim Z ' (u + &) = lim Z' (x) = (1 2) u + lk ü Z (k), 
0- = 0 x — u + 0 
während entsprechend: 
U — I 
(37) lim Z' (u — 1 -j- &) = lim Z'(x) = (12) M k ü Z {k -|- 1) 
X = u — 0 
u — 1 u 
wird. Wegen ^ TI Z (Je -f- 1) = ^ II Z (k) und Z (0) = 1 sind rechts zwar 
o i ' 
die beiden Produktbildungen einander gleich, nicht aber die Exponential- 
faktoren, vielmehr bleibt: 
lim Z' (x) = 12- lim Z ' (x). 
X = U + X = u~ 
2 ) Wie ich bemerke, ist die Idee zu dieser stetigen Erweiterung von V (u) bereits 
in einer Abhandlung von Gehecke über die Operation vierter Stufe (Z. f. math. u. 
naturw. Unt. XIII, 423 ff.) enthalten. 
