Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Für alle ganzzahligen Argumente ist demnach der rechtsseitige Diffe- 
rentialquotient im Verhältnis 12:1 Meiner als der linksseitige. Die 
Z (x) repräsentierende Kurve hat also an diesen Stellen einen Knick. 
Man zeigt leicht, daß infolge des raschen Anwachsens von Z (u) der 
Knickwinkel mit zunehmendem u rapid abnimmt. Bereits für u = 4 
ist er auf den fünfundzwanzig st en Teil einer Bogensekunde etwa herab- 
gesunken, so daß von da ab der Graph von Z (x) mit immer stärkerer 
Annäherung glatt verläuft. Gleichzeitig bestätigt sich hinterher noch- 
mals die zur Herleitung von (27 d) vorgenommene Schätzung von 
V 1 (0), denn es ist hier : 
lim Z ' ix) = 1 2 
x = 0 + 
und 
lim Z ' (x) =- 1. 
x — 0 — 
V ' (0) dürfte nun zwischen beiden Werten, also jedenfalls in der Nähe 
von Eins liegen. 
Das so gewonnene Z (x) läßt jetzt ähnlich wie M (x), P(x) und 
U (x) eine eindeutige Umkehrfunktion zu. Wir bezeichnen die inverse 
Funktion von: 
y = P (x) im Bereich y> 1 mit x = J (?/), 
die von: 
y = Z (x) im Bereich y > 0 mit x = Y ( y). 
(40 b) 
(40 d) 
J ( y ) ist ersichtlich der Logarithmus von y zur Basis Zwei ( Dyadischer 
Logarithmus) ; Y ( y ), das eine analoge Bildung für die vierte Stufe 
darstellt, wollen wir den Hyperlogarithmus von y (zur Basis Zwei) 
nennen. zl (y) und Y (y) sind wieder stetige , monoton wachsende 
Funktionen; es ist beispielsweise: 
J (1) = 0, zl (2) = 1 usf., (41 b) 
beziehungsweise : 
Y (0) == — 1, Y (1) = 0, F(2) — 1 usw. (41 d) 
Entsprechend dem Verhalten von Z (x) zeichnet sich Y (y) durch ein 
äußerst langsames Ansteigen aus. 
Neben diesen Funktionen brauchen wir später noch die in ein- 
fachster Weise aus ihnen hervorgehenden unstetigen Funktionen: 
und 
* (y) = y («/)] 
(42 b) 
z ( y ) = [T («/)]. 
(42 d) 
Die erste stellt ersichtlich die Kennziffer des dyadischen Logarithmus 
von y dar, die zweite wollen wir analog die Kennziffer des dyadischen 
Hyperlogarithmus von y nennen. 
