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Th. Kaluza 
Zwischen Z (x) und der Iteration von J bestehen gemäß (9d) 
und (33) die Beziehungen: 
(43) Zfi Z (x) = Z (x — k) 
für 0 < k <jp 4~ 1 ; unter z/° (y) hat man natürlich y selbst zu ver- 
stehen. Insbesondere ist für x = u -j- & und k = [x] 1 == u -f- 1 : 
(44) &) = ■#. 
Um demnach bei gegebenem y = Z {x) das zugehörige X ~ Y [y) zu 
finden, hat man y so lange dyadisch zu logarithmieren, bis man auf 
einen nicht negativen Logarithmus stößt, der kleiner als die Einheit 
ist, was wegen der Monotonie von Z ( x ) sicher einmal eintrifft. Die 
Summe aus diesem letzten Logarithmus (der nächste wäre bereits 
negativ) und der um Eins verminderten Anzahl der erforderlichen 
Logarithmierungen ergibt dann den gesuchten Wert. Die Berechnung 
von x = Y (y) zerfällt also von selbst in die Ermittelung der Kenn- 
ziffer u = %(y) gemäß der Ungleichung: 
(45) 0 < J uJrl \y) < 1 
und die Bestimmung von & nach der Gleichung: 
(46) & = J u + { (y). 
Die Kennziffer u läßt sich in ganz ähnlicher Weise auch durch 
die Iterationen von z finden: Es gilt nämlich für y = Z (u 4- d) : 
(47) Z{u)<y<Z(u+ 1) 
und 
(48) Z(u — 1) < z/ (y) < Z (u). 
Da nun Z (u — 1) eine ganze zl (y) nicht übertreffende Zahl ist, so 
genügt auch z (y) = [z/ (y)] der Beziehung: 
(49) Z (u — 1) < z {y) < Z ( u ). 
Durch Wiederholung dieses Schlusses folgt allgemein für § <ßk <~u 1, 
unter z° (y) wieder [y\ verstanden : 
(50) Z (u — k) < z 7f (y) < Z (u — k 1).. 
Insbesondere ergibt k = u -f- 1 : 
(51) Z(— \)<^ u + 1 (y)<Z{(y) 
oder, wenn man bedenkt, daß sämtliche Iterationen von z ganze Zahlen 
sein müssen: 
(52) 
z U + 1 (y) = 0. 
