Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Man hat also die gewöhnliche Operation des Kennziffernehmens 
so lange zu wiederholen, bis man, was wiederum mit Sicherheit einmal 
eintreten muß, auf eine Kennziffer von der Größe Null stößt. Die um 
Eins verminderte Anzahl der hierzu benötigten Schritte gleicht der 
gesuchten Kennziffer des Hyperlogarithmus. 
Der innere Grund für das Zusammenbestehen von (45) und (52) 
liegt in der für 1 geltenden Beziehung: 
**(y) = [4 k iy)\, (53) 
die wir durch vollständige Induktion beweisen. 
Es sei also vJ (y) = \d l {y)\, so hat man: 
x l (y) < 4 l (y) < yJ (y) + 1 
und: 
(54) 
J(% l (y))<J‘ + 1 (y)<J{yJ (y) 4- 1). 
Wäre nun: 
(55) 
[4 l + 1 (l /)] = r>[j (*‘(yi)] = + 1 (y, 
so wäre auch: 
(56) 
r> J (vJ (y } ) 
und es gäbe dann eine ganze Zahl r von der Art, daß : 
(57) 
J (yJ (y)) <r<J (%* (y) -f 1); 
dann müßte auch : 
(58) 
* (y) < P (r) < y‘ (y) + 1 
(59) 
sein ; dies ist aber unmöglich, da y l (y) und P (r) ganze 
Da wegen 
+ 1 (y) > yJ + 1 (y) 
auch r<Cx l ^~ 1 (y) ausgeschlossen ist, so folgt: 
Zahlen sind. 
+ x (y) = \J l + 1 ( y i] 
und damit wegen 
y-° (y) = [4° (y)\ = [y\ 
und 
x 1 ( y ) = t^ 1 ( 2 /)] = [J («/)] 
(60) 
(vgl. (42b) und die Bemerkung vor (50)) die Richtigkeit 
Aus 
y J r\<M(y) 
für y > 1 folgt: 
von (53). 
4(y + 1) < J(yy-r l 
und weiter leicht: 
(61) 
x(y + 1 )<x(y) + 1. 
(62) 
