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Th. Kaluza 
Daraus fließt: 
(63) z (v + #) < z (v) < z (v) + 1, 
und da anderseits 
X (v) < z (v -f />), 
so gilt allgemein die Gleichung: 
(64) * ([«/]) = * (?/) 
und auch: 
(65) ** ([i/]) = (2/)- 
Weiter folgt hieraus die Beziehung : 
(66) .xy*(y) = z* + I, (y| 
Für die Funktion F ( 2 /) gelten analoge Formeln; vor allem ist: 
(67) F(2/ + l)< F(2/)+ 1 
für alle yPl- Ferner gibt allgemein: 
( 68 ) l ([ 2 /]) = 1 ( 2 /). 
Abschätzungen. 
Neben den bereits in (19b), (19d) sowie in (61), (67) gegebenen 
einfachen Abschätzungen braucht man mitunter noch weitergehende, 
die in diesem Abschnitte kurz zusammengestellt seien. 
Ersichtlich ist für jedes u> a: 
(69) M(u)>u 4 | a. . 
Für P (u) gilt zunächst der Satz: 
Mit jedem u > 2 ist: 
(70) P(u)>M(u). 
Der Beweis geschieht durch vollständige Induktion; 3 ) aus P (n) 
> M in) folgt nach (9 b): 
(71) P(n 4 - l)>M 2 (n). 
für n>2 ist wegen (69) jedesfalls: 
(72) M 2 in) > Min) + 2 = Min + 1), 
also auch P (n -f- 1) > M {n + 1); es ist aber P(3)>_4f(3). 
3 ) Ich beweise die aus der Analysis bekannten Abschätzungen für y = 2 % hier 
nur der Methode zuliebe arithmetisch für ganzzahlige Argumente, bei der nicht ana- 
lytischen Funktion Z (x) ist man zu einem solchen Beweise gezwungen. 
