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Th. Kaluza 
Schließlich kann man zeigen, daß es zu jeder g amrationalen 
Funktion G {u) mit ganzzahligen Koeffizienten k: 
(84) G (u) = k 0 u g -f- Jc t u 9 ~ 1 -f- k g — \u -\- k g 
immer einen Wert: 
(85) w 0 = max (A' 0 , k 1 , k s - U Jc g — 1, (g + 1> S > 
gibt, so daß für alle u > u Q : 
(86) P (u) > G (u) 
wird. 
Für V (u) gelten ähnliche Abschätzungen: So entspricht beispiels- 
weise (70) die Formel: 
(87) V{u) > P (u) 
für alle u > 2, die auch vollkommen analog bewiesen wird. 
Aus V(u)'>P{u) folgt nach (9 d) : 
(88) V(u -f 1) > P 2 (u)\ 
für nG> 2 ist wegen (70) jedesfalls: 
(89) P 2 (n) > P (n) ■ 2 = P (n + 1), 
also auch V (n -(- 1) > P(n 1); es ist aber 7(3) > P (3). 
Mithin läßt sich (19d) auf Z (x) ausdehnen. Da V (2) = P (2), 
7(1) = P(1) = 2 sowie 7 10 ) = P(0) = 1, ist mit (87) und (74) für 
alle u > 0 : 
(90) Z (u + &) > 7 {u) > P (u) >u-\-l'^>u-\-'9', 
also auch : 
(91) Z(x)>x 
für alle x > 0. 
Der Ungleichung (78) stehen bei V (u) zwei Abschätzungen gegen- 
über; einmal ist: 
(92) 7 (u) > .Pr (u) 
für jedes ^>2r; sodann ist auch: 
(93) V{u)>(P{s)) u 
für alle w>s-}“l- Sowie man rückwärts aus (78) eine präzisere 
Form von (77) gewinnen kann, nämlich: 
(94) P (u) >ku 
für k 2 <P(u), kann man auch hier aus (93) schließen: 
