18 
Th. Kaluza 
II. Herstellung einer Abbildung. 
A. Das Analogon der Mächtigkeit. 
Jeder Zahl ß >_ 1 erscheint eine natürliche Zahl f (b) als ihre 
dyadische Stellenzahl eindeutig zugeordnet, die mit der Kennziffer 
z (b) ihres dyadischen Logarithmus in der einfachen Beziehung steht: 
(105) f (» = *(« + 1. 
In entsprechender Weise ordnen wir jeder Zahl «>0 eindeutig 
eine nicht negative ganze Zahl m (a) zu, die mit % (a), der Kennziffer 
ihres dyadischen Hyperlogerithmus, durch die Gleichung verknüpft ist: 
(1 06) m (a) — x (a) + 1 
und nennen sie die dyadische Stufenzahl von a\ wir sagen auch: a ist 
eine Zahl m-ter Stufe. 
Diese Stufenzahl ist es, die bei unserer Abbildung des Trans- 
finiten auf das Endliche die Rolle der Mächtigkeit unendlicher Mengen 
näherungsweise übernehmen wird. 
Wir werden uns später insbesondere auf die Betrachtung natür- 
licher Zahlen g beschränken; es wird dann auch deren Stufenzahl 
ni (g) wieder eine natürliche Zahl sein. 
Man wird, wenn man sich der kleinen Tabelle (24) erinnert, 
bemerken, daß Zahlen, die wir bereits als ungeheuer groß zu be- 
trachten gewohnt sind, noch recht kleine Stufenzahlen entsprechen. 
Als charakteristisches Beispiel sei die in der mathematischen Unter- 
haltungsliteratur als immense Zahl figurierende Zahl i = 9 ( 0 9 ) ange- 
führt. Für sie ist Y (i) ungefähr gleich 5,2631, so daß sich i als eine 
Zahl sechster Stufe herausstellt. In der Praxis wird man es wohl 
nie mit Zahlen von höherer als der fünften Stufe zu tun haben; eine 
solche Zahl wäre etwa die Anzahl von negativen Elektronen, die bei 
dichtester Packung in eine Kugel von der Größe der Sonne hinein- 
gingen. 
Für die Stufenzahl m (v) ergeben sich unmittelbar zwei Gesetze: 
Erstens folgt aus: 
(107) *P*(y) = Y(y) + k 
die Gleichung: 
(108) 
m (P* (ff)) = m (ff) k. 
