Eine Abbildung der transfmiten Kardinaltheorie auf das Endliche. f9 
Zweitens gilt wegen (55) und (68) für l<\(g) neben : 
m m(g) — l 
auch: 
m (*' (g)) = m (g) — l. 
Insbesondere ist also: 
m (g)) = m (* m &> (g)) = 0. 
B. Das Analogon der Äquivalenz. 
Wir treffen die Festsetzung : 
Zwei Zahlen a und b sollen Q-stufig äquivalent heißen, wenn ihre 
Q-fach iterierten dyadischen Logarithmen sich um weniger als eine Ein- 
heit unterscheiden. Da wir negative Logarithmen zu vermeiden 
wünschen, beschränken wir q durch die Bedingung: 
0 < Q < min (m («), m (b) ). (112) 
Wir bezeichnen die £>- stufige Äquivalenz mit (f, also durch einen 
Zirkumflex, der über den „Stufenindex u q gesetzt wird, und können 
dann die obige Definition so schreiben: 
Es ist a o b ) falls : 
\JV(a) — JC(b)\ <1 (113) 
ist; dabei darf, wie nochmals betont sei, der Stufenindex der Äqui- 
valenz keine der beiden Stufenzahlen von a und b übertreffen. Sooft 
also im Späteren von einer q- stufigen Äquivalenz die Rede ist, kann 
sich diese nur auf zwei Zahlen beziehen, von denen keine kleiner als 
Z(q — 1) ist. 
Wir haben demnach sogleich eine abzählbar unendliche Menge 
von Äquivalenzbeziehungen eingeführt, über deren einfachste folgende 
Angaben gelten: 
Die nullstufige Äquivalenz deckt sich vollkommen mit der gewöhn- 
lichen Gleichheit, sofern man sich auf die Vergleichung natürlicher 
Zahlen beschränkt: Aus goh folgt g = h und umgekehrt. Es ist 
nämlich : 
\j0 (g) _J0 {h) \ = \g_ h \. (H4) 
Die einstufige Äquivalenz hat folgende Bedeutung: Zwei Zahlen 
g und /q wo g^>h, sind einstufig äquivalent, falls: 
g<2h. (115) 
Mit 100 sind also beispielsweise alle Zahlen zwischen 50 und 200 
exklusive einstufig äquivalent. 
(109) 
( 110 ) 
( 111 ) 
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