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Th. Kaluza 
Hinsichtlich der zweistufigen Äquivalenz gilt für g^>h: 
(116) g2h falls g <^h 2 . 
Mit 100 wären demnach die Zahlen zwischen 10 und 10000 exklusive 
zweistufig äquivalent. 
Für die dreistufige Äquivalenz hat man schon komplizierter, 
ebenfalls für g > h: 
(117) g 3 h sobald g < h^ ^ 
beziehungsweise : 
i 
(118) g 3h sobald P(l/z/(#)) = gV A ^ 9 )<^h. 
Hier erscheinen mit 100 sämtliche ganze Zahlen zwischen 5 und 
19 400 000 000 000 ca. dreistufig äquivalent. 
Die explizite Form für die vierstufige Äquivalenz wird bereits 
recht unübersichtlich, doch genügen die angegebenen Beispiele, um 
erkennen zu lassen, wie rasch mit wachsendem Stufenindex die Weite 
der Äquivalenzbeziehungen zunimmt. 
C. Das Analogon der Teilmenge. 
Wenn irgend eine natürliche Zahl g vorliegt, so soll jede nicht 
negative ganze Zahl k , die der Bedingung: 
119) h<g 
genügt, ein echter Teil oder kurz ein Teil von g heißen. Die Zahl 
Null erscheint dabei als (uneigentlicher) Teil einer jeden natürlichen 
Zahl g. 
Ist l ein Teil von k und k ein Teil von g , so ist auch l ein 
Teil von g. 
III. Grundeigenschaften der hergestellten Abbildung. 
A. Allgemeine Sätze. 
Die Betrachtung der nullstufigen Äquivalenz, die sich vollkommen 
mit der Gleichheit zweier natürlicher Zahlen deckt, führt naturgemäß 
nicht über die Gesetze endlicher Mengen hinaus. Die folgenden Ent- 
wickelungen beschäftigen sich daher nur mit den für unser Problem 
nützlichen Äquivalenzen, deren Stufenindex von Null verschieden ist, 
also mit den Beziehungen für die y > 0 ist. 
