Eine Abbildung der transfiniten Kardinal theorie auf das Endliche. 
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Es gilt dann zunächst der Satz: Wenn mit g > ft gleichzeitig 
g y ft ist, so ist auch : 
g y my li (120) 
für alle m die der Bedingung : 
g>m~>h (121) 
genügen. 
Ferner gilt offensichtlich: 
Jede natürliche Zahl ist sich selbst zu beliebiger Stufe äguivalent. 
Es gilt außerdem: 
Falls m {g) — m (ft) — u, ist stets : 
gah sowie g°—^h. (122) 
Demgegenüber steht: 
Falls sich die Stufenzahien zweier natürlicher Zahlen um mehr 
als eine Einheit unterscheiden, sind die beiden Zahlen zu keiner Stufe 
äquivalent. 
Die leichten Beweise seien übergangen. Dagegen sei hier fol- 
gender Satz bewiesen: 
Falls g y~ h, wo y min (m {g) ) m (ft)), so ist auch: 
gfi Ä (123) 
für alle die der Bedingung genügen: 
7 <J'i < min (m (g), m Qi)). (124) 
In Worten: 
Das Bestehen einer ^-stufigen Äquivalenz zwischen zwei natür- 
lichen Zahlen hat das Eintreten aller zwischen den beiden Zahlen 
überhaupt möglichen Äquivalenzbeziehungen höherer Stufe im Gefolge. 
Zum Beweise zeigt man, daß aus: 
g yh (1 25) 
stets : 
g?+ l h (126) 
folgt: Sei etwa g <fh (für g = h ist der Satz trivial), so ist (125) 
identisch mit JY (g) — JY (ft) 1. Der Voraussetzung: y m (ft) ge- 
mäß ist sicher z/^(ft)> 1, also schließlich: 
JY(g)<:2z/Y(h) (127) 
und hieraus wieder fließt: 
JY + '(g)<JY + i(h)+l 
also die Äquivalenz (126). 
( 128 ) 
