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Th. Kaluza 
B. Pseudotransfinite Zahlen. 
Aus (123), (124) fließt folgender wichtiger Satz: 
Jede natürliche Zahl, die größer als Zwei ist , ist einem ihrer 
echten Teile zu jeder beliebigen Stufe mit nicht verschwindenden In- 
dex äquivalent. 
Es ist nämlich, wenn man an die Bedeutung der einstufigen 
Äquivalenz denkt, für g^> 2 stets : 
(129) g-iig- 
Nach dem vorigen Satze ist also auch: 
(130) <7 — 1 fi 9 
für alle y x , die der Bedingung genügen: 
(131) 1 O/i < m (g — 1). 
Von den Fällen, in denen g= V (u) ist, abgesehen ist übrigens: 
(132) m (g — 1) = m (g). 
Dieser Satz ist es, der den endlichen Zahlen, die größer sind als 
Zwei, in unserer Abbildung den Charakter von pseudotr ans finiten 
Zahlen verleiht. Eine wesentliche Bedingung des Satzes ist natürlich 
der Ausschluß der nullstufigen Äquivalenz, d. i. der gewöhnlichen 
Gleichheit. 
Es empfiehlt sich, dem Satze noch eine etwas andere Form zu 
geben: Nennt man die Gesamtheit der natürlichen Zahlen, die größer 
sind als eine nicht negative ganze Zahl k, den durch k erzeugten 
Zahlschweif , so sprechen wir den Satz jetzt so aus: 
Zu jeder Äquivalenz mit vorgegebenem von Null verschiedenem 
Index y gibt es einen Zahlschweif, dessen Zahlen sämtlich einem ihrer 
echten Teile von der gegebenen Stufe äquivalent sind. 
Der Zahlschweif wird erzeugt durch die Zahl max ( Z(y — 1), 2). 
C. Das TrichotomieprobSem der Äquivalenz. 
Das Problem der Trichotomie gestaltet sich bei uns folgender- 
maßen: 
Bezeichnet t (n) irgend einen echten Teil von n , so muß für 
zwei natürliche Zahlen g und h genau einer der folgenden vier Fälle 
eintreten : 
