Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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1. gytQi) und gleichzeitig hyt{g ), 
2. gy t (ft) „ „ h nicht / t (g), 
3. g nicht y t Qi) ,, ,, hy t (g), 
4. g nicht y t Qi) v ,, h nicht y t {g). 
Zunächst ist, falls g von ft verschieden ist, etwa g > ft, stets 
h y t ($0, falls g = h, tritt der Satz von den pseudotransfiniten Zahlen 
in Kraft, so daß sich ergibt: 
Zu jeder Äquivalenz mit vorgegebenem, von Null verschiedenem 
Index gibt es einen Zahlschweif, für dessen Zahlen der vierte Fall 
ausgeschlossen ist. 
Es gilt ferner der Äquivalenzsatz : 
Aus: 
g y t Qi) und h y t (g) (134) 
folgt: 
9 f' ; h- (135) 
Für g = h ist der Satz trivial; für g^>h folgt nach (120) aus g y t (h) 
auch g y h, da h der Bedingung (121) genügt: 
g>h>t (7Ä (136) 
Um die völlige Identität des Falles 1. mit der Äquivalenz zweier 
Zahlen des oben näher angegebenen Zahlschweifes zu erhalten, wäre 
noch zu zeigen, daß aus g y h stets das Eintreten des ersten Falles 
folgt. Das ist nun aber nicht ausnahmslos richtig; denn bezeichnet 
man die kleinste unter allen Zahlen, die zu einer gegebenen Zahl 
li /-stufig äquivalent sind, mit ft, deren größte mit g und die größte 
jener Zahlen, die mit h — 1 /-stufig äquivalent sind, mit m, so ergibt 
sich zunächst folgendes: 
Für alle Zahlen ft, 
die der Bedingung genügen: 
ft <( \ <( m 
(137) 
tritt mit ft y h x zugleich 
der Fall 1. ein. Dagegen ist zwar: 
k f h. 
(138) 
nicht aber: 
ft y t (ft) ; 
(139) 
ebensowenig ist für alle Zahlen g x die der Bedingung: 
(140) 
genügen : 
9i V t (h), 
(141) 
obwohl auch hier: 
9i f h 
(142) 
