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Th. Kaltjza 
ist. Daß es überhaupt wenigstens eine solche Zahl g x gibt, mit 
anderen Worten, daß m von g verschieden ist, ergibt sich aus dem 
leicht zu bestätigenden allgemeinen Satze: 
Aus: 
(143) l y n 
folgt stets auch: 
(144) l + 1 f n 1. 
Unter allen zu einer vorgelegten natürlichen Zahl /-stufig äqui- 
valenten Zahlen gibt es demnach stets mindestens zwei, für die die 
Umkehrung des Äquivalenzsatzes nicht gilt. Auf die Anzahl dieser 
Ausnahmezahlen wird etwas später noch näher eingegangen werden. 
Der Aquivalenzdefinition entsprechend sagen wir: g ist y- stufig 
größer als h, falls: 
(145) zjr(g)-zir(h)> 1 
ist. Analog nennen wir g y-stufig kleiner als h, wenn: 
(146) jr(h)—jy{g)> 1 
wird, in Zeichen: 
> ■ < 
(147) g y h bezw. gyh. 
< < 
Aus lyn folgt stets nyl und umgekehrt; ferner schließen die 
> > |||i ' HB | 
drei Beziehungen y, y und y einander aus und es gibt zu jedem y 
einen Zahlschweif von der Art, daß für irgend zwei seiner Zahlen 
< < 
stets eine von den drei Beziehungen statthat. Für y (und analog für /) 
zeigt man leicht, daß aus: 
> 
(148) 
gyh 
stets : 
> 
(149) 
9 7i A 
folgt, für alle / x , die der Bedingung genügen: 
(150) 0 < < / ; 
> 
es folgt also insbesondere aus gyh auch g li. Für die Beziehung y 
gilt offenbar weiter das Transitivitätsgesetz : 
Aus: 
< > 
gyh und h y k 
(151) 
