Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
27 
so ist wegen T -f- I — U: 
t + i= 1 (157) 
und im einzelnen: 
0<ft<fl und 0<A<1, (158) 
da der Umfang keines der Felder verschwinden kann. 
t und i sind ersichtlich gewisse Wahrscheinlichkeits großen, und 
zwar bedeutet t die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei beliebig heraus- 
gegriffene natürliche Zahlen, die zu einer vorgegebenen Zahl h y-stufig 
äquivalent sind, auch untereinander von derselben Stufe äquivalent sind; 
i bedeutet die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des entgegengesetzten 
Ereignisses, daß also die beiden herausgegriffenen Zahlen einander 
nicht äquivalent sind. 
Da i demnach die relative Häufigkeit der Ausnahmen gegenüber 
dem Transitivitätssatze der j'- stufigen Äquivalenz (bei festgehaltener 
Mittelzahl h) darstellt, können wir t auch als die Genauigkeit bezeichnen, 
mit der eben dieser Satz für die betreffenden Werte von y und h 
erfüllt wird. In dem obigen Beispiel ist diese Genauigkeit t nur 
gleich 0,76 (y = 1 , h — 7); wir werden aber zeigen — und damit eben 
ein Analogon des gewöhnlichen Grenzprozesses in unsere Theorie ein- 
führen — , daß man die Genauigkeit , mit der der Transitivitätssatz 
erfüllt wird, durch passende Wahl des Stufenindex und eines zu- 
gehörigen Zahlschweifes beliebig groß machen kann, die Wahrschein- 
lichkeit eines Verstoßes gegen den Satz also beliebig klein. 
B. Der Grenzprozeß. 
Wir präzisieren den zu beweisenden Satz so: 
Zu jeder Äquivalenz, deren Index i\ größer als Eins ist, kann 
man einen Zahlschweif von der Art angeben, daß für seine sämt- 
lichen Zahlen h der Transitivitätssatz der ^-stufigen Äquivalenz mit 
einer Genauigkeit t gilt, die größer ist als eine beliebig kleiner als 
Eins vorgegebene Zahl A. 
Für ein gegebenes rj sind Z7, T, J , t und i sämtlich eindeutige 
Funktionen von h , und der obige Satz deckt sich damit, daß: 
lim t (h) = 1 (159) 
h — cc 
oder: 
lim i(h) = 0 (160) 
h = oo 
wird. 
Um den Satz in dieser letzten Gestalt zu beweisen, stellen wir 
folgende Überlegungen an: 
