28 
Th. Kaluza 
Wenn man die Anzahl der h übertreffenden und mit 7^ ^-stufig 
äquivalenten Zahlen mit @ (/^); die Anzahl der mit h äquivalenten 
Zahlen, die kleiner als h sind, mit $ (h) bezeichnet, so stellt @ -f- ^ -f- 1 
die Gesamtzahl aller mit h äquivalenten Zahlen dar. Der Umfang 
des Aquivalenzfeldes von h , d. i. die Anzahl aller Zahlpaare, 4 ) deren 
beide Komponenten mit h äquivalent sind, wird: 
(161) ü= (© + ® -f l) 2 . 
Ein dem Intransivitätsfeld von li angehöriges Zahlpaar ist offen- 
bar nur unter denjenigen Zahlpaaren zu finden, von deren Kompo- 
nenten die eine größer, die andere kleiner als h ist; die Anzahl dieser 
Paare ist 2 © sodaß : 
(162) J< 2®Ä 
wird. Man hat also: 
(163) 
. 2® ® 
l ~ (© 4- 51 -j- l) 2 
und es genügt zum Beweise von (160) zu zeigen, daß: 
(164) 
beziehungsweise : 
lim 2 % (h) St (h) 
h = 00 (© (h) + 51 l) 2 
(165) 
wird. 
(166) 
lim (© (&) + « (ft) + l) 2 
7» = oo 2 ®(h)$i(h) 
Es ist: 
(® 1 «+ i) 
JL + _L J_ ! . 1 
2 St 2® ' 2®St ’ ' St 
daher ist (165) erfüllt, wenn sich: 
(167) 
lim ® (h) 
h = oo ß(fc) 
GO 
J. 
ergibt. Bezeichnet man, wie im vorigen Abschnitte, die größte der 
mit h äquivalenten Zahlen, als Funktion von h gedacht, mit g (h) 1 
deren kleinste mit k(h), so wird (167) identisch mit: 
(168) 
lim 9 f ^) ^ 
ä = oo ]i — fr Qi) 
4 ) Es ist wegen der Symmetrie der Äquivalenzbeziehungen gleichgültig, ob man, 
wie hier geschehen, durchweg geordnete oder durchweg ungeordnete Zahlpaare zu- 
grunde legt. 
