Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Da nun: 
so ist mit 
oder: 
g(h)- 
h _ g(h) 
- 1, 
(169) 
h — k Qi) h 
lim 
g (fr) 
GO 
(170) 
h = oo 
h 
lim 
g Qi) + 1 
: QO 
(171) 
h = oo 
h 
g (fr) + 1 
bedeutet die 
erste h 
übertreffende und 
nicht mit ihm äquivalente Zahl; es ist also nach (113): 
g Qi) + 1 > (J* W) 4 - 1 ). 
(172) 
Man wird nach alledem den gewünschten Satz (160) erhalten, 
wenn man zeigt, daß: 
lim P* V' (h) + 1) 
h = oo 
h 
lim PHJ'M+ l) 
h=co 
= QO 
(173) 
wird; das aber ergibt sich durch vollständige Induktion: 
Wegen 1 = J (2) ist: 
+ + i (ft) + 1) = P* (2 (h)) = P^ Qi) + 4* Ql)), (174) 
und da /J^ + ^Qi) nicht negativ, z/^Qi) demnach nicht kleiner als Eins 
sein kann, so ist stets: 
PV + 1 (JV + 1 (ft) 4-1) > PV (JV (ft) 4_ 1); 
nun ist aber für ft = 2 gemäß (116): 
lim P 2 (J 2 (h)+ 1) li m Ä* 
h = o o 
= 00 ft 
= GO, 
(175) 
(176) 
also gilt , (173) und damit der an die Spitze dieses Abschnittes gestellte 
Satz für jedes ft 1. 
Man weist noch leicht nach, daß die Zahl 
4 
l = max (Z (ij — 1), q— ^]) 
(177) 
sicher einen Zahlschweif erzeugt, für dessen sämtliche Zahlen der 
Transitivitätssatz der ft-stufigen Äquivalenz mit einer Genauigkeit gilt, 
die größer als & ist. 
Anstatt zu vorgegebenem Stufenindex ft einen Zahlschweif zu 
suchen, für dessen Zahlen der Transitivitätssatz mit vorgeschriebener 
