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Th. Kaluza 
Genauigkeit gilt, kann man auch selbst so bestimmen , daß dies für 
alle Zahlen, die sich überhaupt zu dieser Stufe vergleichen lassen, 
der Fall ist. Nach (177) und (68) hat man dazu: 
ins) i> m (r=^ 
zu wählen. 
Wie bereits im vorigen Abschnitte betont, vertritt der den vor- 
stehenden Entwickelungen zugrunde liegende Gedankengang den 
Grenzprozeß der Infinitesimalrechnung; ihm kommt daher auch bei 
unserem Problem eine ähnliche fundamentale Bedeutung zu: er ver- 
mittelt einen Zusammenhang zwischen den Gesetzen der endlichen und 
denen der unendlichen Mengen. 
Es ist zu beachten, daß in unseren Betrachtungen zwei Arten 
von Grenzuber gangen auftreten: Einmal kann man, bei festgehaltenem 
Stufenindex der Äquivalenz die den Zahlschweif erzeugende Zahl l 
ins Unendliche wachsen lassen, dann aber kann man auch den Stufen- 
index selbst beliebig groß werden lassen; im letzten Falle wächst von 
selbst auch l über jede Grenze hinaus, da, wie aus (112) folgt, der 
Schweif aller Zahlen, die sich überhaupt zu der betreffenden Stufe 
vergleichen lassen, von der Zahl Z (q — 1) erzeugt wird. Man kann 
daher einen Grenzprozeß der ersten Art insbesondere dann durch einen 
solchen der zweiten Art ersetzen, wenn sich l als unabhängig vom 
Stufenindex ergibt. 
Nachträglich können wir den jetzt gewonnenen Standpunkt auch 
gegenüber der Umkehrung des Aquivalenzsatzes einnehmen : Auch da 
können wir, was hier nicht näher ausgeführt werden soll, durch ähn- 
liche Schlüsse zeigen, daß die relative Häufigkeit jener Fälle, in denen 
trotz gyh nicht der Fall 1. von (133) eintritt, durch geeignete Wahl 
des Stufenindex und eines zugehörigen Zahlschweifes beliebig klein 
gemacht werden kann. Der Beweis stützt sich neben der Verwendung 
von Abschätzungen im wesentlichen auf die Beziehung : 
(179) ^ (P?(J? + Hh + 1) + 1) — P? (> + 1 (h) + D) = 0. 
Zusammenfassend können wir etwa kurz sagen, daß wir durch 
Vornahme der geschilderten Grenzübergänge nicht nur imstande sind, 
den Zahlen geeignet gewählter Zahlschweife den Größencharakter mit 
beliebig vorgegebener Genauigkeit zu erteilen, sondern auch zu be- 
wirken, daß die betreffenden drei Größenbeziehungen sich, ebenfalls 
beliebig genau, mit den drei ersten Fällen der auf gestellten Disjunktion 
decken. 
