Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 31 
V. Die Abbildung der Alefsätze. 
A. Grundlegende Alefsätze. 
Die Darstellung ist in diesem Abschnitt zunächst so gehalten, 
daß sie das allmähliche Hervortreten der einzelnen Alefsätze mit 
steigendem Index der Äquivalenz zum Ausdruck bringt. 
Für die einstufige Äquivalenz gilt nach (115) der Satz: 
Falls h' < h, so ist: 
h -j 1 - h! l h. (180) 
Wir stellen ihn in Parallele zu der Alefrelation : 
Falls x' <4 5$, so ist: 
4-- at' = (181) 
Insbesondere folgt, daß jede natürliche Zahl n einen Zahlschweif 
erzeugt, für dessen sämtliche Zahlen h: 
h-\-nlh (182 
ist. 
Nach (123) gilt der Satz (180) auch für alle bei h überhaupt 
inbetracht kommenden Äquivalenzen mit höherem Index. 
Für die zweistufige Äquivalenz erhält man gemäß (116): 
Falls h' h , so wird : 
h-tizh. 083) 
Dem Satze steht die Alefrelation gegenüber: 
Falls <4 N, so wird : 
(184) 
Jede natürliche Zahl n erzeugt wieder einen Zahlschweif, für 
dessen sämtliche Zahlen h: 
h ■ n 2 h (l 85 ^ 
ist, entsprechend dem Alefsätze: 
^ • v = (186) 
für endliches v. 
Für die dreistufige Äquivalenz gewinnen wir aus (117) den Satz: 
Falls h' so ist: 
h h 'sh. (187) 
Auch hier gibt es zu jeder natürlichen Zahl n einen Zahlschweif, 
für dessen sämtliche Zahlen h : 
h n $h 
(188) 
