Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Der Intransitivität der höheren Äquivalenzbeziehungen wegen 
gelten aber (190) und (191) nicht allgemein; beispielsweise ist zwar 
20 2 5, jedoch weder 5 + 20 =H5 noch 5 • 20 = 100 mit 5 zweistufig 
äquivalent. 
In dem durch die Zahl 4 erzeugten Zahl schweife sind nach 
(180), (183), (185) und (188) die Gleichungen (190) und (191) für 
ti h erfüllt. Ein Verstoß gegen diese Sätze kann also nur dann 
eintreten, wenn zugleich: 
h' <fh und h' y li (196) 
ist; es ist dann aber wegen (180) und (183), die sich ja auch auf 
höhere Stufenindizes ausdehnen lassen: 
h ,J rhyh' (197) 
sowie: 
h' -hyti. (198) 
Wäre nun die /-stufige Äquivalenz transitiv, so würden aus 
(197) bezw. (198) und (196) die Gleichungen (190) bezw. (191) folgen. 
Da dies nicht zutrifft, so treten hier die den Grenzübergang betreffenden 
Überlegungen des vorigen Kapitels in Kraft, und die Frage nach der 
Gültigkeit bezw. der Genauigkeit der allgemeinen Sätze (190) und (191) 
erscheint auf den dort bewiesenen Grenzsatz zurückgeführt. 
Man kann noch leicht direkt nachweisen, daß die Genauigkeit 
(in dem am Schlüsse von IV A präzisierten Sinne verstanden), mit der 
(190), also die erste der beiden fundamentalen Relationen, in unserer 
Abbildung erfüllt ist, durch geeignete Wahl des Stufenindex und eines 
zugehörigen Zahlschweifes beliebig groß gemacht werden kann, die 
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Verstoßes gegen den Satz 
demnach beliebig klein. 
Bezeichnet man, wie früher, mit k (h) bezw. g Qi) die kleinste 
bezw. größte der mit h ^-stufig äquivalenten Zahlen, so wird offenbar 
ein Verstoß gegen (190) dann und nur dann eintreten, wenn h ' der 
Bedingung genügt: 
9 — h<h' <g. (199) 
Die Anzahl dieser Fälle beträgt h , während die Anzahl den mög- 
lichen Fälle, d. i. die Anzahl aller mit h äquivalenten Zahlen, gleich 
g — k + 1 ist. Man erhält danach die Wahrscheinlichkeit eines Ver- 
stoßes zu: 
i (h) = 
h 
g Qi) — ik (h) — 1) 
( 200 ), 
Schriften d. Physik. -Ökonom. Gesellschaft. Jahrgang LVII. 
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