Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Dieser Satz entspricht offenbar vollkommen dem bekannten 
Cantorschen Theorem von der Mächtigkeit der Menge aller Teile einer 
Menge : 
(209) 
Erwähnt sei noch der andere Satz: 
* (Ä) y 2 h (210) 
für jedes y 2 nt (h) — 1. 
Ein weiterer wichtiger Potenzsatz der Kardinaltheorie ist der 
folgende: 
a'a = 2** (211) 
für jedes tf'<^2^. Ihm entspricht inunserer Abbildung der Satz: 
Zu jeder Äquivalenz mit vorgegebenem Stufenindex y gibt es 
einen durch Z (y — 2) erzeugten Zahlschweif, für dessen sämtliche 
Zahlen h: 
h' h y~2 h = P(h) (212) 
ist, solange h’ 2 h bleibt. 
Es ist dann nämlich auch J ( h ') h und daher nach der Er- 
weiterung von (183): 
h • J Qi') Y- 1 h, (213) 
Daraus folgt sofort: 
P(h-J(h'))yP(h) (214) 
und daraus wegen P {h> J Qi') ) = h' h die zu beweisende Gleichung (212). 
Man kann dem Satze (208) noch die Beziehung an die Seite 
stellen : 
m(P (h) ) > tn (Ä (215) 
sie fließt direkt aus der in (106) gegebenen Definition der Stufenzahl. 
Auch diese Beziehung bildet ein Analogon zu dem Absätze (209) 
und bringt wohl am unmittelbarsten die in II A hingestellte Korre- 
spondenz zwischen Stufenzahl und Mächtigkeit zum Ausdruck. Daß 
aber auch diese Korrespondenz von vornherein keine vollkommene ist, 
lehrt schon die Tatsache, daß z. B. m(10) von m (50) verschieden ist, 
während anderseits 10 und 50 zweistufig äquivalent sind (vgl. die 
Fassung des betreffenden Satzes in III A). Es entsteht daher die 
Frage, ob sich auch hier ein Grenzsatz beweisen lassen wird, dessen 
exakte Formulierung uns zunächst beschäftigt : 
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