36 
Th. Kaluza 
Sei n eine die Einheit übertreffende natürliche Zahl, so wollen 
wir die Gesamtheit aller aus zwei natürlichen Zahlen h t und h 2 ge- 
bildeten geordneten Zahlpaare, für die: 
(216) nt (, h t ) = n — 1 und m Qi%) '= n 
ist, das zu n gehörige Stufungsfeld nennen. Es zerfällt unmittelbar 
in zwei Teilfelder , je nachdem die beiden Komponenten und h 2 
untereinander /-stufig äquivalent sind oder nicht. Die Zahlpaare, für 
c ’ 
die der zweite Fall h x y h 2 eintritt, rechnen wir zu dem y-stufigen 
Hauptfeld, die übrigen zu dem y-stufigen Nebenfeld und bezeichnen 
die Umfänge (vgl. IV A.) der beiden Teilfelder mit H bzw. F , während 
U den Umfang des gesamten Stufungsfeldes bedeuten soll. Es stellt 
dann: 
die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten, und: 
F 
(218) f= u 
die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der y-stufigen Äquivalenz 
zwischen zwei den Bedingungen (216) gemäß beliebig heraus g egriff enen 
Zahlen li x und hz. Dabei sind für ein gegebenes / die Größen r und 
f eindeutige Funktionen von n bezw. von: 
(219) k^=Z(n — 1), 
wenn man mit k die kleinste der Zahlen h% bezeichnet; bei der zweiten 
Auffassung sind die Funktionen p {k) und s (k) nach (219) nur für 
Argumente mit ganzzahligem Hyperlogarithmus bestimmt. 
Wir können nunmehr den zu beweisenden Grenzsatz in folgender 
Form aussprechen: 
Zu jeder Äquivalenz mit gegebenem Stufenindex y läßt sich ein 
Zahlschweif von der Art angeben, daß für seine sämtlichen Zahlen li 
der „ Stufensatz u der /-stufigen Äquivalenz mit einer Genauigkeit r 
gilt, die größer ist als eine beliebig kleiner als Eins vorgegebene Zahl 
dieser Stufensatz lautet: 
Zwei natürliche Zahlen, deren Stufenzahlen sich um eine Einheit 
unterscheiden, sind nicht y- stufig äquivalent. 
Daß r (n) in der Tat die Genauigkeit in dem früher präzisierten 
Sinne darstellt, erhellt daraus, daß: 
(220) f(n) == 1 — r (n) 
