Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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Aus dem vorher für den Stufensatz bewiesenen Grenzsatze folgt 
ohne Schwierigkeit ein analoger Grenzsatz für den Mächtigkeitssatz . 
Damit ist aber aus der anfangs nur roh erscheinenden Korrespondenz 
zwischen den Begriffen Stufenzahl und Mächtigkeit eine befriedigende 
Analogie geworden. (Vgl. hierzu auch Kapitel VII.) 
C. Der Bernsteinsche Satz. 
Als ein Beispiel für die Abbildung spezieller Alefsätze soll in 
diesem Abschnitte noch der Bernsteinsche Satz besprochen werden. 
Wie schon mehrfach erwähnt, läßt sich (183) auf alle Äqui- 
valenzen ausdehnen, deren Stufenindex r\ der Bedingung: 
1 < n < m (h) (234) 
genügt. Man findet daraus unter Berücksichtigung von (120): 
h • h'rfh + h\ (235) 
zunächst, wie bei (183) für h' <h\ der Symmetrie von (235) wegen, 
und weil auch: /j 2 2 2 h, (236) 
genügt es, wenn eine der leiden Bedingungen: 
h^Ziji — 1) bzw. ti Z (r\ — 1) (237) 
erfüllt ist. Indem wir ti durch Z (g) und rj durch y — 1 ersetzen, 
erhalten wir: 
h • Z(gy -l) h + Zig) (238) 
und daraus: 
P(h • Z(g))yP(h-\-Z(g)) (239) 
oder nach einfacher Umformung: 
g h y~2 h -g\ (240) 
dabei muß wenigstens eine der beiden Bedingungen: 
gf>Z(y — 1) bzw. h^>Z(y — 2) (241) 
erfüllt sein. Innerhalb des durch Z (y — 1) erzeugten Zahlschweifes 
ist also (240) für zwei beliebige Zahlen g und h erfüllt. 
Wie man sieht, bildet die Äquivalenz (240 1 das vollkommene 
Analogon des B ernst einschen Alef satzes: 
• Mm (242) 
für endliches m und n. 
Der bei der Ableitung von (240) benutzten Gleichung (235) ent- 
spricht die Hessenbergsche Alefrelation : 
M • M' = M + 
(243) 
