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Th. Kaluza 
VI. Die approximative Arithmetik großer Zahlen. 
A. Approximative Zahlengleichheit und Äquivalenz. 
Man wird unschwer erkennen, daß den vorstehenden Unter- 
suchungen der Wunsch zugrunde liegt, die wohl von jedem Neuling 
mehr oder minder bewußt versuchte Veranschaulichung der einfachsten 
transfiniten Kardinalsätze an sehr großen beziehungsweise sehr kleinen 
Zahlen zu präzisieren . Man denkt ja beispielsweise bei dem Satze 
a -f- e = a unwillkürlich an die in den Anwendungsgebieten der Mathe- 
matik, insbesondere in der theoretischen Physik, viel gebrauchte 
Vernachlässigung von kleinen Gliedern, sog. Gliedern höherer Ord- 
nung. Allein bereits der Satz 2 a = a läßt eine so einfache 
Veranschaulichung nicht mehr zu, wenngleich sich auch zu ihm 
ein leidlich befriedigendes Analogon finden läßt. Gemeint ist der 
ebenfalls der Physik entstammende Gebrauch, zwei Zahlen, deren 
Quotient sich nicht allzuweit von der Einheit entfernt, als von 
gleicher Größenordnung zu bezeichnen. Erhielte man z. B. für das 
Plancksche Wirkungsquantum h nach zwei völlig voneinander ver- 
schiedenen Methoden, die beide beträchtlichen Fehlerquellen ausgesetzt 
sein mögen, das eine Mal 7,8 -10 -27 , das andere Mal 4,1 -10“ 27 
erg • sec, so dürfte man sich wohl mit dieser „Übereinstimmung“ beider 
Werte begnügen, obwohl deren Quotient nahezu Zwei betrüge. Wie 
weit man die Grenzen zu wählen hat, innerhalb derer sich der Quotient 
von der Einheit entfernen darf, hängt natürlich von den jeweils ge- 
gebenen Verhältnissen ab; anderseits ändert diese Willkür aber nichts 
an dem zugrunde liegenden Prinzip. 
In der Aufstellung dieser mit den Worten „von gleicher Größen- 
ordnung“ belegten Beziehung hat man offenbar den ersten Ansatz 
zur Bildung jener oben behandelten höheren Aquivalenzbeziehungen 
zu erblicken, deren einfachste, i, ja gemäß (120) ebenfalls dem 
Quotienten der beiden verglichenen Zahlen feste Schranken zuweist. 
Es erhebt sich nun die Frage, inwieweit man auch den übrigen 
Aquivalenzbeziehungen, die man zur Gewinnung weiterer Kardinal- 
sätze benötigt, eine ähnlich einfache, ebenfalls der Praxis entnommene 
Deutung unterlegen kann. 
Bei der Beantwortung dieser Frage stützen wir uns auf ein 
Grundprinzip ' des numerischen Rechnens, das wir als das Prinzip der 
beschränkten Ziffernzahl bezeichnen wollen. Diesem Prinzip gemäß 
wird in der rechnerischen Praxis jede nicht allzugroße Zahl unter Be- 
