Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 41 
nutzung der bekannten Abkürzungsregeln mit einer endlichen Anzahl 
von geltenden Ziffern in dem allüblichen dekadischen System ge- 
schrieben. Dabei befolgt man gewöhnlich noch die Regel, daß die 
ganze vorliegende Rechnung hindurch die letzte geltende Ziffer der- 
selben dekadischen Stellenzahl entspricht. Infolgedessen werden zwei 
Zahlen als gleich erscheinen, wenn der absolute Wert ihrer Differenz 
kleiner als eine Einheit dieser letzten Stelle ist, wenn sich also beide 
Zahlen um weniger als eine vorgegebene, den jeweiligen Verhältnissen 
angepaßte Größe d von einander unterscheiden. Wie man sieht, deckt 
sich diese Vergleichung für 6 = 1 mit unserer nullstufigen Äquivalenz . 
Daneben werden aber bekanntlich in der Praxis sehr häufig, 
hauptsächlich der bequemen Multiplikation und Potenzierung, Divi- 
sion und Radizierung wegen, Zahlen durch ihre dekadischen Logarith- 
men mit ebenfalls beschränkter , gewöhnlich die ganze Rechnung hin- 
durch konstant gehaltener Stellenzahl als gegeben betrachtet. Bei 
sehr großen Zahlen ist man sogar auf eine solche logarithmische Fest- 
legung angewiesen, wenn deren direkte Angabe unmöglich beziehungs- 
weise zwecklos wird; die Schreibweise log V (6) = 6 * 10 19727 ca. (vgl. 
die Bemerkungen zu Tabelle 24) beispielsweise ist ja nur eine Vor- 
stufe zur logarithmi sehen Schreibart. 
Zwei Zahlen gelten nunmehr als gleich, wenn ihre Logarithmen 
sich um weniger als eine Einheit der letztem geltenden Stelle unter- 
scheiden. Diese Art der approximativen Gleichsetzung zweier Zahlen 
entspricht offenbar grundsätzlich der einstufigen Äquivalenz in der 
obigen Theorie; anderseits ist mit der Differenz der Logarithmen auch 
der Quotient der Zahlen selbst in feste Grenzen eingeschlossen, was 
wiederum auf die vorher herangezogene Vergleichung zweier Zahlen 
hinsichtlich ihrer Größenordnung hinausläuft. 
Um nun über die einstufige Äquivalenz hinauszugelangen, wollen 
wir uns vorstellen, daß die Zahlen, mit denen wir in unseren Rech- 
nungen zu operieren hätten, ganz ungeheuer groß wären, so groß, daß 
selbst ihre dekadischen Logarithmen oder, was hier im wesentlichen 
auf dasselbe herauskommt, ihre Stellenzahlen immer noch enorm große 
Zahlen wären. Wir würden dann nicht umhin können, diese Loga- 
rithmen wiederum durch ihre dekadischen Logarithmen zu fassen, so- 
daß die ursprünglichen Zahlen selbst demnach als durch ihre zweifach 
iterierten Logarithmen gegeben erscheinen würden. Auf dieser Stufe 
würden also zwei Zahlen als gleich zu betrachten sein, wenn ihre 
zweifach iterierten Logarithmen sich um weniger als eine Einheit der 
letzten geltenden Stelle unterschieden, eine Vergleichung, die ersichtlich 
genau der früher benutzten zweistuf gen Äquivalenz entspricht. 
