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Th. Kaluza 
Man wird bemerken, daß man in dieser Richtung beliebig weit 
fortschreiten kann: Man mag sich Zahlen denken, die so immens 
sind, daß nicht blos ihre einfachen, sondern sogar noch ihre (g — 1)- 
fach iterierten dekadischen Logarithmen von einer ihre direkte An- 
gabe vereitelnden Größe sind, sodaß man sich also diese Zahlen prak- 
tisch erst durch ihre g-fach iterierten Logarithmen gegeben zu denken hat. 
Es erhellt dann, daß die zugehörige approximative Zahlengleichheit im 
Prinzip vollkommen mit der allgemeinen y-stufigen Äquivalenz von 
II B zusammenfällt. Wir werden eben zwei derartig immense Zahlen 
praktisch nur dann voneinander unterscheiden können, wenn ihre 
allein der bequemen Handhabung zugänglichen ^-fach iterierten Loga- 
rithmen um wenigstens eine Einheit der letzten gültigen Stelle 
differieren. 
Von diesem Standpunkte der approximativen Rechnung mit un- 
geheuren Zahlen bietet sich, wie man sieht, die Einführung unserer 
obigen Aquivalenzbeziehungen ganz von selbst dar. Wohl nur der 
Umstand, daß wir es in der Praxis so gut wie nie mit solch enormen 
Zahlen zu tun haben, ist es, der für die weitverbreitete Anschauung 
verantwortlich zu machen ist. nach welcher das Gebiet der un ver- 
stellbar großen Zahlen als ein eintöniges, uferloses Meer erscheint, 
dessen Durchquerung höchstens der an das Seil des Induktionsge- 
setzes sich klammernde Theoretiker erzwingen kann. 
Wären wir hingegen denkende Wesen, deren Vorstellungskraft 
nicht so rasch erlahmte, 5 ) oder wären wir aus irgend welchen Gründen 
gezwungen, mit solchen immensen Zahlen zu operieren, so wäre uns 
wohl auch dies Gebiet schon lange heimisch geworden, und wir würden 
wohl längst — schon aus rein praktischen Gründen — zu einer 
Theorie, ähnlich der in den vorhergehenden Kapiteln entwickelten, 
gelangt sein, die sich hier natürlich zunächst ohne jede Beziehung 
zur transfiniten Kardinaltheorie, lediglich als approximative Arithmetik 
großer Zahlen darstellen würde; es würde sich dann aber auch der 
Übergang zur Grenze ganz zwanglos darbieten. 
Für die praktische Verwendung beim numerischen Rechnen in 
dem fingierten Falle wäre naturgemäß unsere Theorie nach einer 
etwas anderen Richtung hin auszubauen: Manche von den früher ent- 
wickelten Sätzen, die nur mit Rücksicht auf den Grenzfall der trans- 
finiten Kardinaltheorie Interesse beanspruchen, könnten fortbleiben, 
5 ) Größeren Zahlen gegenüber erlahmt diese bekanntlich sehr rasch; alle jene 
sattsam bekannten sog. „Veranschaulichungen“ sehr großer Zahlen bringen ja imgrunde 
nur deren Nichtanschaulichkeit erst recht zum Bewußtsein. 
