Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 
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während noch einige, wieder für die Kardinaltheorie belanglose Regeln 
über das Rechnen mit den Zahlen der verschiedenen Stufen hinzu- 
treten müßten. Da aber in dieser Arbeit der Zusammenhang mit der 
Kardinal theorie im Vordergründe steht, sollen diese Rechenregeln hier 
nicht näher entwickelt werden. 
Versuchen wir schließlich noch, ein Beispiel zu bilden, bei. dem 
wenigstens die ersten Ansätze unserer Theorie wirklich in Anwendung 
kommen können: Gesetzt, es wären drei verschiedene Arten von 
Dingen 6 ), alle drei in der gleichen, sehr großen Anzahl N vorhanden, 
auf 3 iV Plätze zu verteilen nnd es handle sich darum, für die Anzahl 
M der möglichen Verteilungen eine Näherungsformel zu finden. Der 
exakte Ausdruck für M lautet: 
M = 
(3 N) ! 
( A T /) 3 
(244) 
und man erhält mit Verwendung der Stirlingschen Formel für den 
natürlichen Logarithmus von M zunächst die Annäherung: 
1 M = 3 N • 1 3 — 1 
2 w N 
vT~' 
(245) 
Für sehr großes N wird das zweite Glied der Formel gegenüber 
dem ersten praktisch nicht mehr inbetracht kommen; vernachlässigt 
man es, so erhält man die Näherung : 
1 M = 3 N • l 3 (246) 
oder, wenn man auf M selbst zurückgeht: 
M = 3 BN . (247) 
Vergleicht man die beiden Ausdrücke (244) und (247) für kleinere 
Werte von N durch direkte Ausrechnung miteinander, so erkennt man 
bald, daß nicht blos die Differenz, sondern auch der Quotient der 
beiden rechten Seiten über jedes Maß hinaus wächst, obwohl doch die 
zweite Formel eine Annäherung für die erste darstellen sollte Man 
kann auch folgende Überlegung anstellen: Die rechte Seite von (247), 
also 3 3iV , gibt ja die Anzahl der Möglichkeiten für eine Belegung 
der 3 N Plätze mit drei Arten von Elementen, ohne Rücksicht auf die 
Anzahl der Elemente jeder Art, an Dabei sind also unter anderen 
auch die Verteilungen von N 4 * k Elementen der ersten, N -\- l der 
zweiten und N — (k -j- l) der dritten Art für gegen N kleine Werte 
6 ) Man denke etwa an drei verschiedene Molekelarten oder an die drei Arten 
von Farbkörnern einer Lumiereschen Farbenplatte. 
