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Th. Kaluza 
von k und l mitgerechnet; deren Anzahl dürfte sich aber für jedes 
solches Paar k, l nur wenig von M unterscheiden. Da nun bei sehr 
großem N ■ die Anzahl der gegen N kleinen Zahlen k bzw. I selbst 
noch recht groß ausfällt, umsomehr also die Anzahl der Paare solcher 
Zahlen, so ist offenbar zu erwarten, daß die rechte Seite von (247) 
die linke um ein bedeutendes Vielfaches übertreffen werde. Daß dies 
tatsächlich der Fall ist, geht übrigens unmittelbar aus der genaueren 
Näherungsformel (245) hervor. 
Trotzdem kann man auch den Wert 3 sivr als Näherung für M 
ansehen, nur stellt er, wie ein Blick auf (183) erkennen läßt, eine 
Näherung zweiter Stufe, in dem von uns gebrauchten Sinne, dar, im 
Gegensatz zu der einstufigen Näherungsformel, die aus (245) für M 
selbst folgen würde. 
Selbstverständlich läßt sich der scheinbare Widerspruch in dem 
obigen Beispiel auch ganz elementar, ohne Hinweis auf unsere 
systematische Theorie aufklären; ich wollte nur zeigen, daß deren 
Keime tatsächlich im Boden der Praxis versteckt liegen. 
B. Die gestufte Genauigkeit. 
In IV A ist als Genauigkeit, mit der ein bestimmter Satz der 
transfmiten Kardinaltheorie in unserer Abbildung erfüllt wird, ein 
gewisser Wahrscheinlichkeitswert definiert worden. Bei der Bestimmung 
einer Wahrscheinlichkeit handelt es sich nun immer um den Vergleich 
zweier Umfange, desjenigen der Menge aller sog. günstigen und des 
der Menge aller überhaupt möglichen Fälle; es ist aber nicht gesagt, 
daß nur der Quotient dieser beiden Umfänge für eine Wahrscheinlich- 
keitsdefinition in Betracht kommen kann; Wenn auch gerade diese 
Definition, hauptsächlich dem bequemen Additions- bezw. Multipli- 
kationsgesetz für die vollständige bezw. zusammengesetzte Wahr- 
scheinlichkeit zuliebe, als praktisch allein brauchbare das Feld be- 
herrscht, so sind doch an sich bekanntlich noch mannigfache andere 
Festsetzungen denkbar und auch mit dem naiven Wahrscheinlichkeits- 
begriffe verträglich. Ja, wenn wir uns wieder den Fall denken, daß 
die beiden zu vergleichenden Umfänge durch Zahlen von so immenser 
Größe repräsentiert werden, daß erst ihre (yfach iterierten Logarith- 
men der direkten Angabe zugänglich sind, so wird die Quotienten- 
definition der Wahrscheinlichkeit bei größerem q praktisch völlig ver- 
sagen , und wir werden die Vergleichung der beiden Umfänge in 
anderer Weise vornehmen müssen; Am nächsten liegend ist es da 
wohl, unmittelbar den Quotienten der beiden gegebenen Q-fach iterierten 
