46 
Th. Kaluza 
VII. Die modifizierte Abbildung. 
Obwohl nach den Überlegungen des vorigen Kapitels die von 
uns bis jetzt zugrunde gelegte Abbildung der transfiniten Kardinal- 
theorie auf das Endliche als eine gänzlich ungezwungene erscheinen 
muß, wird man doch von vorneherein die Möglichkeit noch anderer 
solcher Abbildungen prinzipiell zugeben müssen. Man könnte da zu- 
nächst vielleicht an der bevorzugten Stellung der Operation vierter 
Stufe gegenüber der Operationen anderer Stufe zweifeln und ver- 
suchen, die analogen Entwickelungen für die Potenzierung oder die 
echte Operation fünfter Stufe durchzuführen. Im ersten Falle würde man 
gar keinen Erfolg haben, nicht zuletzt wegen des Versagens aller not- 
wendigen Grenzsätze; im zweiten Falle wäre der Erfolg nur mäßig , 
da dann insbesondere das Analogon des Cantorschen Theorems (209) 
bedeutende Schwierigkeiten bereiten würde. Wie weit man mit der 
unechten Operation der vierten Stufe gelangen kann, soll hier nicht 
näher erörtert werden, ebensowenig die Frage nach allgemeinen Eigen- 
schaften von solchen monotonen Funktionen, die für unsere Abbildungs- 
zwecke inbetracht kommen können. Dagegen möge in diesem Kapitel 
noch eine naheliegende Modifikation der in II hergestellten Abbildung 
in Kürze gekennzeichnet werden. 
Die vorzunehmende Abänderung besteht einfach darin, daß man 
in der bisherigen Aquivalenzdefinition (113) die £>-fach iterierten dya- 
dischen Logarithmen durch die ^-fach iterierten dyadischen Kenn- 
ziffern ersetzt. Wegen der Ganzzahligkeit dieser Kennziffern werden 
zwei Zahlen nunmehr genau dann als g-stufig äquivalent zu bezeich- 
nen sein, wenn ihre g-fach iterierten dyadischen Kennziffern überein- 
stimmen. In Zeichen: 
(250) a g b falls xV (a) = yA (&). 
Wir wollen die so definierte Äquivalenz , ebenso wie die durch 
sie bestimmte Abbildung kurz als die modifizierte schlechthin be- 
zeichnen. 
Zunächst ist zu bemerken, daß nach (53): 
(251) mit a g b auch a g b 
ist, wogegen das Umgekehrte nicht allgemein gilt. 
Während die nullstufige modifizierte Äquivalenz sich wieder mit 
der Identität , die einstufige ersichtlich mit der dyadischen St eilen gleich- 
