Eine Abbildung der transfiniten Kardinaltheorie auf das Endliche. 47 
heit zweier natürlicher Zahlen deckt, werden die Zahlen einer jeden 
der folgenden Gruppen: 
(2, 3), 
(4, 5, . . . 14, 15), 
(16, 17, . . . 254, 255), (252) 
(2(2*), 2- ( 2 *)'-{- 1 , . . . 2(2* + 1 ) — 2, 2 (a fc + 1 ) — 1) 
usw. untereinander zweistufig äquivalent sein. 
Diese Beispiele können zugleich als Illustration der Tatsache 
dienen, daß die modifizierte Q-stufige Äquivalenz stets transitiv ist, was 
ja unmittelbar aus der obigen Formulierung hervorgeht. In dieser 
Tatsache liegt ein scheinbar bedeutsamer Vorteil der hier behandelten 
Modifikation; doch wird dieser Vorteil teuer genug durch die bei 
anderen wichtigen Sätzen auf tretenden Komplikationen erkauft. 
Beispielsweise erleidet der in III B aufgestellte Satz von den 
pseudotransfiniten Zahlen in unserer modifizierten Theorie eine Reihe 
von Ausnahmen: So sind etwa die Anfangszahlen der einzelnen 
Gruppen von (252) keinem ihrer echten Teile modifiziert zweistufig 
äquivalent. 
Damit hängt aufs engste die gegenüber der alten Theorie ver- 
wickelter e Gestaltung des Trichotomieproblems zusammen: Im Falle des 
Eintretens der modifizierten Äquivalenz kann z. B. an sich jeder der 
(133) entsprechenden vier Fälle, auch der letzte zutreffen, und zwar, 
was besonders ins Gewicht fällt, für beliebig große Zahlen; es gilt da- 
gegen auch hier der Äquivalenzsatz. 
Bei der Übertragung der fundamentalen Älefrelationen zeigen 
sich, was hier nur erwähnt sei, weitere Schwierigkeiten , und wenn 
auch dafür der Stufensatz (vgl. VB) in der neuen Theorie exakt her- 
auskommt, wodurch die Analogie zwischen Stufenzahl und Mächtigkeit 
hier eine nahezu vollkommene wird, so kann man doch höchstens von 
einer Verschiebung, keinesfalls aber von einer Verminderung der 
Schwierigkeiten bei dem Ausbau der Abbildung sprechen. Es hat den 
Anschein, als ob gerade die Verbindung der durch den Stufenzahlbe- 
griff auf der natürlichen Zahlenreihe festgelegten starren Skala mit 
dem seiner Intransitivität wegen bedeutend schmiegsameren ursprüng- 
lichen Äquivalenzbegriff für den Übergang zur Grenze besonders 
günstige Verhältnisse schafft. 
Von einem anderen Standpunkte aus betrachtet würde allerdings 
doch wieder die modifizierte Abbildung den Vorzug verdienen: Wäh- 
